*-Алгебры и их применение (стр. 5 из 17)

2.4. Конечномерные представления.

Теорема 2.7. Пусть π – конечномерное представление *-алгебры А. Тогда π = π₁

….. π_n, где π_iнеприводимы.

Доказательство. Если dimπ = 0 (n=0), то все доказано. Предположим, что dimπ = q и что наше предложение доказано при dimπ<q. Если π неприводимо, то предложение снова доказано. В противном случае π = π΄

π΄΄, причем dimπ΄<q, dimπ΄΄<q, и достаточно применить предположение индукции.

Разложение π = π₁

….. π_n не единственно. Тем не менее, мы получим некоторую теорему единственности.

Пусть ρ₁, ρ₂ – два неприводимых подпредставления π. Им отвечают инвариантные подпространства Н₁ и Н₂. Пусть Р₁ и Р₂ – проекторы Н на Н₁ и Н₂. Они коммутируют с π(А). Поэтому ограничение Р₂ на Н₁ есть оператор, сплетающий ρ₁ и ρ₂. Следовательно, если Н₁ и Н₂не ортогональны, то из пункта 2.3. следует, что ρ₁ и ρ₂ эквивалентны. Это доказывает, что любое неприводимое подпредставление π эквивалентно одному из π_i. Итак, перегруп-
пировав π_i, получаем, что π = ν₁

….. ν_m, где каждоеν_i есть кратное ρ_iν_i΄ неприводимого представления ν_i΄, и ν_i΄ попарно эквивалентны. Если ρ – неприводимое представление π, то предыдущее рассуждение показывает, что соответствующее инвариантное подпространство Н΄ ортогонально всем инвариантным подпространствам Н_i, отвечающих ν_i, кроме одного. Поэтому Н΄ содержится в одном из Н_i. Это доказывает, что каждое пространство Н_i определяется однозначно: Н_i – это подпространство Н, порожденное пространствами подпредставлений π, эквивалентных ν_i΄. Таким образом, доказано предложение.

Теорема 2.8. В разложении π = ρ₁ν₁΄

….. ρ_mν_m΄ представления π, (где ν₁΄,…, ν_m΄ неприводимы и неэквивалентны) целые числа ρ_i и классы представлений ν_i΄ определяются единственным образом, как и пространства представлений.

2.5. Интегрирование и дезинтегрирование представлений.Напомним определение борелевского пространства.

Определение 2.7. Борелевским пространством называется множество Т, снабженное множеством В подмножеств Т, обладающим следующими свойствами: Т

В, Ø

В, В инвариантно относительно счетного объединения, счетного пересечения и перехода к дополнению.

Определение 2.8. Пусть Т₁, Т₂ – борелевские пространства. Отображение f:Т₁→Т₂ называется борелевским, если полный прообраз относительно f любого множества в Т₂ есть борелевское множество в Т₁.

Дадим несколько вспомогательных определений и утверждений.

Пусть Т – борелевское пространство и μ – положительная мера на Т.

Определение 2.9.μ – измеримое поле гильбертовых пространств на Т есть пара ε= ((H(t))_t

_T, Г), где (H(t))_t

_T – семейство гильбертовых пространств, индексы которых пробегают Т, а Г – множество векторных полей, удовлетворяющее следующим условиям:

(i) Г – векторное подпространство

Н(t);

(ii) существует последовательность (х₁, х₂,…) элементов Г таких, что для любого t

T элементы х_n(t) образуют последовательность H(t);

(iii) для любого х

Г функция t→||x(t)|| μ – измерима;

(iv) пусть х – векторное поле; если для любого y

Г функция t→(x(t), y(t)) μ – измерима, то х

Г.

Пусть ε= ((H(t))t

_T, Г) μ – измеримое поле гильбертовых пространств на Т. Векторное поле х называется полем с интегрируемым квадратом, если х

Г и

||x(t)||² dμ(t) < +∞.

Если х, y – с интегрируемым квадратом, то х+y и λх (λ

С) – тоже и функция t→(x(t), y(t)) интегрируема; положим

(x, y) =

(x(t), y(t)) dμ(t)

Тогда векторные поля с интегрируемым квадратом образуют гильбертово пространство Н, называемое прямым интегралом Н(t) и обозначаемое

x(t)dμ(t).

Определение 2.10. Пусть ε= ((H(t))_t

_T, Г)– измеримое поле гильбер-
товых пространств на Т. Пусть для любого t

T определен оператор S(t)

L(H(t)). Если для любого х

T поле t→S(t)x(t) измеримо, то t→S(t) называется измеримым операторным полем.

Пусть Т – борелевское пространство, μ - положительная мера на Т, t→Н(t) - μ - измеримое поле гильбертовых пространств на Т. Пусть для каждого t

T задано представление π(t) *-алгебры А в Н(t): говорят, что t→π(t) есть поле представлений А.

Определение 2.11. Поле представлений t→π(t) называется измеримым, если для каждого х

А поле операторов t→π(t)х измеримо.

Если поле представлений t→π(t) измеримо, то для каждого х

А можно образовать непрерывный оператор π(х)=

π(t) (x) dμ(t) в гильбертовом прост-
ранстве Н = Н(t) dμ(t).

Теорема 2.9. Отображение х→π(х) есть представление А в Н.

Доказательство. Для любых х, y

А имеем

π(х+y) =

π(t) (x+y) dμ(t) = (π(t) (x) + π(t) (y)) dμ(t) = π(t) (x )dμ(t) +

+

π(t) (y) dμ(t) = π(х) +π(y)