Марковская и полумарковская модели открытой сети с тремя узлами (стр. 3 из 8)

0 1 2 …

…

Рисунок 1.2.2

Уравнения равновесия для вертикальных сечений имеют вид ( на рисунке 1.2.2 оно изображено пунктирной линией ).

Тогда

Из условия нормировки

находим, что

Таким образом,

, где

равны

, (1.2.2)

, (1.2.3)

. (1.2.4)

Стационарное распределение

существует и единственно, если выполняется условие эргодичности:

(1.2.5)

Теорема 1.2.1.( Разложения Джексона) Пусть уравнение трафика (1.2.1) имеет единственное положительное решение

и выполнено условие эргодичности (1.2.5). Тогда финальные стационарные вероятности состояний сети Джексона имеют вид

, (1.2.6)

где

определяются по формуле

, (1.2.7)

в которой

определяется формулой

. (1.2.8)

Согласно теореме 1.2.1, стационарное распределение представимо в форме произведения множителей характеризующих узлы; каждый множитель есть стационарное распределение узла, то есть

где

из формулы (1.2.2),

из формулы (1.2.3),

из формулы (1.2.4).

Таким образом, стационарное распределение имеет следующий вид

(1.2.9)

1.3 Достаточное условие эргодичности

Теорема 1.3.1 (Эргодическая теорема Фостера).

Регулярная Марковская цепь с непрерывным временем и счетным числом состояний эргодична, если она неприводима и система уравнений

имеет нетривиальное решение

такое, что

При этом существует единственное стационарное распределение, которое совпадает с эргодическим. [2, с. 8-14]

Эргодичность исследуем в соответствии с теоремой 1.3.1. Рассмотрим условия теоремы.

Регулярность следует из того, что

Согласно рисунку 1.1, получим:

Таким образом, регулярность выполняется.

Так как все состояния сообщаются с нулевым, то есть в любое состояние

можно перейти из нулевого

и в

можно перейти из любого состояния,путем поступления, обслуживания и ухода заявок из сети, то отсюда следует неприводимость.

Примечание – здесь учитывается, что матрица переходов

неприводима.

В качестве нетривиального решения системы уравнений из теоремы 1.3.1 возьмем

. Тогда для эргодичности потребуется, чтобы

. Тогда получим,

где

Последний ряд сходится по признаку сравнения, если сходится ряд

Условие (1.3.1) и есть искомое условие эргодичности. Если это условие будет выполнятся, то будет существовать единственное стационарное распределение, совпадающее с эргодическим.

2. ПОЛУМАРКОВСКАЯ МОДЕЛЬ СЕТИ С ТРЕМЯ УЗЛАМИ

Пусть имеется открытая сеть массового обслуживания, состоящая из трёх узлов, в которую поступает простейший поток заявок с параметром

. Причём, в первую систему массового обслуживания, входящая заявка поступает с вероятностью

. Времена обслуживания заявок в

-ом узле заданы функцией распределения времени обслуживания

-ым прибором одной заявки

. При этом налагается следующее требование

. (2.1)

Дисциплины обслуживания заявок в системах сети LCFSPR - заявка, поступающая в

-ый узел, вытесняет заявку с прибора и начинает обслуживаться. Вытесненная с прибора заявка становится в начало очереди. Схематически сеть изображена на рисунке 2.1.

Рисунок 2.1

Состояние сети описывается случайным процессом