Марковская и полумарковская модели открытой сети с тремя узлами (стр. 6 из 8)

Заявки поступают двух типов: положительные и отрицательные. Впервые модель введена в работе [8]. На рисунке 3.1 положительные заявки обозначены знаком плюс, а отрицательные знаком минус,

– потоки на

-ый узел,

– поток с

-ого узла,

. На выходе только положительные заявки, дальше положительные заявки разбиваются на положительные и отрицательные.

Дисциплины обслуживания заявок в системах сети определяются следующим образом.

а) Если на приборе нет заявок, то отрицательная заявка, поступающая на прибор, теряется;

б) Если на приборе нет заявок, то поступающая положительная заявка начинает обслуживаться;

в) Если на приборе заявка положительная, то пришедшая отрицательная заявка выбивает заявку с прибора и положительная заявка теряется.

г) Если в очереди

заявок положительных, то приходящая отрицательная заявка, вытесняет последнюю (положительную) заявку и в очереди становится

заявка (

-ая положительная и отрицательная заявка теряется).

Состояние сети описывается случайным процессом

где

– число положительных заявок в момент

, соответственно в первом, втором, третьем узле. В соответствии с разделом 1 и учитывая формулу (3.1)

– марковский процесс.

Таким образом, в соответствии с определением 1.3 и вышесказанном, построена марковская модель открытой сети с тремя узлами и разнотипными заявками.

3.1 Составление уравнений трафика

Рассмотрим изолированный

-й узел (

), считая, что на него поступает поток заявок интенсивности

. Граф переходов изобразится следующим образом.

0 1 2 …

…

Рисунок 3.1.1

Тогда в соответствии с рисунком 3.1.1, получим следующие соотношения

, (3.1.1)

где

Согласно рисунку 3.1

. (3.1.2)

Для марковской модели сети с тремя узлами и разнотипными заявками уравнения трафика имеют следующий вид:

Учитывая формулу (3.1.2) запишем ещё три уравнения

Таким образом, уравнения трафика имеют следующий вид

. (3.1.3)

, (3.1.4)

, (3.1.5)

, (3.1.6)

, (3.1.7)

, (3.1.8)

, (3.1.9)

, (3.1.10)

, (3.1.11)

Подставим формулу (3.1.9) в (3.1.5) и (3.1.6), формулу (3.1.10) в (3.1.7) и (3.1.8), а формулу (3.1.11) в (3.1.3) и (3.1.4). Тогда уравнения трафика запишутся следующим образом

, (3.1.12)

, (3.1.13)

, (3.1.14)

, (3.1.15)

, (3.1.16)

. (3.1.17)

3.2 Нахождение решений уравнений трафика

Положительность решения уравнений трафика для достаточно общей модели доказана в работе [9].

Для нахождения решений уравнений трафика составим уравнение относительно

. Для этого преобразуем формулу (3.1.12), перенесём всё в левую часть и приведём к общему знаменателю

. (3.2.1)

Так как

, то формула (3.2.1) примет следующий вид

. (3.2.2)

Подставляя формулу (3.1.14) и (3.1.15) в (3.1.16) имеем

Приводим к общему знаменателю

. (3.2.3)

Подставим формулу, полученную из формулы (3.1.13) вычетом формулы (3.1.12), получим

, в формулу (3.2.3), получим

. (3.2.4)

Обозначим

, тогда