Марковская и полумарковская модели открытой сети с тремя узлами (стр. 8 из 8)

;

Подставляя значения

в уравнение (3.4.4), учитывая уравнения (3.4.5) – (3.4.13), проверим, удовлетворяет стационарное распределение (3.4.1) уравнениям равновесия (3.3.1). Рассмотрим каждый из случаев 1) – 8) отдельно.

Рассмотрим первый случай

Согласно формуле (3.4.6)

, формуле (3.4.8)

, формуле (3.4.10)

, формуле (3.4.9)

, получим

В соответствии с формулой (3.4.5)

, формулой (3.4.12)

, формулой (3.4.13)

. Из формул (3.4.9), (3.4.10)

, тогда имеем

Согласно формуле (3.4.9)

, формуле (3.4.10)

. Из формул (3.4.7) и (3.4.8)

, получим

А это есть формула (3.4.11), то есть случай 1) выполняется.

Рассмотрим второй случай

Согласно формуле (3.4.5)

, формуле (3.4.6)

, формуле (3.4.8)

, формуле (3.4.10)

. Из формул (3.4.5) и (3.4.6)

. Раскроем скобки и перенесём всё в правую часть, получим

В соответствии с формулой (3.4.13)

, формулой (3.4.12). Из формул (3.4.9), (3.4.10)

, тогда

Согласно формуле (3.4.11)

,формуле (3.4.12)

. Из формул (3.4.7) и (3.4.8)

, получим

, то есть случай 2) выполняется.

Аналогично выполняются 3) – 8).

Таким образом, случаи 1) – 8) превращаются в верное равенство. То есть стационарное распределение (3.4.1) есть решение уравнения равновесия (3.3.1), если выполняется условие эргодичности

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе проведено исследование открытых марковских и полумарковских сетей массового обслуживания с тремя узлами и циклической маршрутизацией.

Получены следующие основные результаты:

Для марковской модели сети с тремя узлами, записаны уравнения равновесия (формула 1.1.3), получено достаточное условие эргодичности (формула 1.3.1) и найдено стационарное распределение (формула 1.2.9).

Для полумарковской модели сети с тремя узлами, определен вид дифференциально-разностных уравнений Колмогорова (формула 2.1.4), найдено стационарное распределение (формула 2.2.1) и доказана инвариантность (см. 2.3).

Для марковской модели сети с тремя узлами и разнотипными заявками, составлены уравнения равновесия (формула 3.3.1), найдено стационарное распределение (формула 3.4.1) и получено достаточное условие эргодичности (формула 3.2.15).

Результаты работы могут быть применены при проектировании и эксплуатации сетей передачи данных, информационно-вычислительных сетей, сетей ЭВМ и многих других технических объектов.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Малинковский Ю.В. Теория массового обслуживания. – Гомель: Бел ГУТ, 1998. – 100с.

2. Буриков А.Д., Малинковский Ю.В., Маталыцкий М.А. Теория массового обслуживания. – Гродно: ГрГУ, 1984. – 108с.

3. Ивченко Г.И., Каштанов В.А., Коваленко И.Н. Теория массового обслуживания. – М.: Высшая школа, 1982. – 256с.

4. Прохоров А.В., Ушаков В.Г., Ушаков Н.Г. Задачи по теории вероят-ностей: Основные понятия. Предельные теоремы. Случайные процессы. – М.: Наука. Главная редакция физ.-мат. литературы, 1986. – 328с.

5. Кениг Д., Штоян Д. Методы теории массового обслуживания: Пер. с нем.// Под ред. Г.П. Климова. – М.: Радио и связь, 1981. – 128с.

6. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания. – М.: Наука, 1966. – 431с.

7. Ширяев А.Н. Вероятность. – М.: Наука. Главная редакция физ.-мат. литературы, 1980 – 575с.

8. Gelenbe E. Product Form Queueing Networks with Negative and Positive Customers // J. Appl. Probab. – 1991. – V. 28. – P. 656 – 663.

9. Gelenbe E., Shassberger R. Stability of Product-Form G-networks // Probab. in Eng. and Inform. Sci. – 1992. – No. 6. – P. 271 – 276.

Приложение 1 Список опубликованных работ

1. Гарбуза И.В. Марковская и полумарковская модели открытой сети с тремя узлами// Материалы V международной межвузовской научно-технической конференции студентов, магистрантов и аспирантов «Исследования и разработка в области машиностроения, энергетики и управления 2005» Гомель, 2005 г.

2. Гарбуза И.В. Стационарное распределение и его инвариантность для модели открытой сети с тремя узлами// Творчество молодых’2005 Сборник научных работ студентов и аспирантов Гомельского Государственного университета им. Ф. Скорины. Гомель, 2005 г.