Системы с постоянной четной частью (стр. 2 из 5)

Лемма Основная лемма 3Пусть правая часть системы (1)

-периодична по

, непрерывна и имеет непрерывные частные производные по переменным

. Тогда отображение за период для системы (1) можно найти по формуле

и поэтому решение

системы (1) будет

-периодическим тогда и только тогда, когда есть решение недифференциальной системы

(7)

В качестве следствия этой леммы докажем следующее предположение.

Утверждение 4Пусть непрерывно дифференцируемая функция

-периодична и нечетна по

, т.е.

и

. Тогда всякое продолжение на отрезок решение системы (1) будет -периодическим и четным по .

Доказательство. Для доказательства достаточно заметить, что функция

удовлетворяет уравнению (5) и условию (6). Поэтому она согласно свойству 3) является отражающей функцией рассматриваемой системы. Уравнение (7) в нашем случае вырождается в тождество, и ему удовлетворяет любое , для которого определено значение

Согласно основной лемме любое продолжимое на

решение системы (1) будет -периодическим. Четность произвольного решения системы (1) следует из тождеств

справедливых в силу свойства 1) отражающей функции.

Справедливы следующие утверждения [4].

Теорема 5Пусть все решения системы (1)

-периодичны и однозначно определяются своими начальными данными. Тогда отражающая функция

этой системы

-периодична по

Теорема 6Пусть система (1)

-периодична по

а ее решения однозначно определяются своими начальными данными и существуют при всех

Если, кроме того, отражающая функция этой системы

-периодична по

то все решения системы (1) периодичны с периодом

Аналогичная теорема имеет место в том случае, когда не все решения системы (1) продолжимы на отрезок

При этом заключение о -периодичности можно сделать лишь для тех решений, которые существуют при всех

Из

-периодичности отражающей функции следует -периодичность всех продолжимых на решений периодической системы (1). Из -периодичности отражающей функции не следует, вообще говоря, -периодичность решений -периодической системы, хотя следует их -периодичность.

Не следует думать, что если все решения

-периодической системы -периодичны, то ее отражающая функция обязана быть -периодической. Этому противоречит пример уравнения

В случае, когда

, т.е. когда система (1) вырождается в уравнение, верна

Теорема 7Пусть уравнение (1)

-периодично по

а его решения однозначно определяются своими начальными данными и существуют при всех

Тогда для того, чтобы все решения уравнения (1) были

-периодичны, необходима и достаточна

-периодичность по

отражающей функции этого уравнения.

3. Системы чёт-нечет

Рассмотрим систему

(8)

Будем считать, что всюду в дальнейшем эта система удовлетворяет условиям:

а) Функция

непрерывно дифференцируема, и поэтому, задача Коши для системы (8) имеет единственное решение;

б) Правая часть системы (8)

-периодична по .

Лемма 8Пусть система (8) удовлетворяет условиям а) и б). Тогда продолжимое на отрезок

решение

этой системы будет

-периодическим тогда и только тогда, когда

где

– есть нечетная часть решения

.

Доказательство. Пусть

– -периодическое решение системы (8). Тогда

Необходимость доказана.

Пусть

– решение системы (8), для которого . Тогда

и поэтому

Таким образом, точка

есть неподвижная точка отображения за период, а решение – -периодическое.