Системы с постоянной четной частью (стр. 3 из 5)
Доказанная лемма, вопрос о периодичности решения
сводит к вычислению одного из значений нечетной части
. Иногда относительно можно сказать больше, чем о самом решении 
. Это позволяет в таких случаях делать различные заключения относительно существования периодических решений у систем вида (8). Дифференцируемые функции 
удовлетворяют некоторой системе дифференциальных уравнений. Прежде, чем выписать эту систему, заметим:
(9)так как
решение системы (8). Заменяя в тождестве (9)
на 
и учитывая, что производная четной функции – функция нечетная, а производная нечетной функции – функция четная, получаем тождество – 
(10)Из тождеств (9) и (10) найдем производные:
Таким образом вектор-функция
(11)удовлетворяет следующей системе дифференциальных уравнений порядка
: 
(12)При этом
Систему (12) будем называть системой чет-нечет, соответствующей системе (8). решение системы чет-нечет, как следует из условия а), однозначно определяется своими начальными условиями.
4. Построение примеров систем, четная часть общего решения которых постоянная
Пример
Найдем решение: будем использовать метод исключения, возьмем первое уравнение системы и выразим из него
: 
теперь продифференцируем его
Мы можем приравнять левую часть полученного уравнения с левой частью второго уравнения исходной системы
Сделаем преобразования и приведем подобные
Таким образом:
Сделаем проверку, для этого в исходную систему подставим полученное решение:
Получили верные равенства. Значит было найдено правильное решение исходной системы.
Четная часть общего решения:
Пример
Найдем решение: будем использовать метод исключения, возьмем первое уравнение системы и выразим из него
: 
теперь продифференцируем его
Мы можем приравнять левую часть полученного уравнения с левой частью второго уравнения исходной системы
Сделаем преобразования и приведем подобные
Таким образом:
Сделаем проверку:
Четная часть общего решения
Пример
Найдем решение: будем использовать метод исключения, возьмем первое уравнение системы и выразим из него
: 
теперь продифференцируем его
Мы можем приравнять левую часть полученного уравнения с левой частью второго уравнения исходной системы
Получили два решения
и 
.1)
; 
2)
; 
Сделаем проверку для
: 
Получили верные равенства. Значит было найдено правильное решение исходной системы.
Сделаем проверку для
: 
Отсюда видно, что
не являются решением для исходной системы.Таким образом:
Четная часть общего решения
Из данных примеров можем заметить, что решения систем записывается в виде:
где
и 
– нечетные функции, а четная часть представлена константой. 
; 
; 
(13)