Системы с постоянной четной частью (стр. 5 из 5)
Преобразуем правую часть
Перепишем полученное в виде:
Выразим
: 
(17)Для всех систем вида (17) должно быть выполнено условие
Возьмем
Найдем
, 
. 
; 
Подставим значения
, в систему (17): 
Получаем требуемую систему:
Пример 17Пусть
где
– заданная четная часть, 
. Продифференцируем обе части равенства 
и преобразуем правую часть
Перепишем полученное в виде:
Выразим
: 
(18)Для всех таких систем должно быть выполнено условие
.Возьмем
. Найдем , . 
,
Подставим найденные значения в систему (18) и сделав преобразования аналогичные примеру 16, получаем:
Рассмотрим теперь общий случай, когда нам задана четная часть
общего решения системы с отражающей функцией 
. В этом случае 
Поэтому, если
нам задана, то из соотношения 
при заданной
мы найдем общее решение искомой системы. Саму систему мы построим исключая 
из соотношений 
Таким образом, мы пришли к
Теорема 18Всякая система
(19)где
находятся из системы 
при любой заданной дифференцируемой функции
, удовлетворяющей соотношениям 
имеет общее решение с четной частью
.Если
то система (19) имеет вид:
Таким образом, мы пришли к выводу:
Следствие 19Общее решение дифференциальной системы имеет постоянную четную часть тогда и только тогда, когда эта система простейшая.
Основным результатом данной работы является построение дифференциальных систем, семейство решений которых имеет заданную четную часть. А так же теорема о связи простейшей системы и системы, семейство решений которой имеет постоянную четную часть.
Теорема.Общее решение дифференциальной системы имеет постоянную четную часть тогда и только тогда, когда эта система простейшая.
Список использованных источников
[1] Арнольд В.И., Обыкновенные дифференциальные уравнения, М.: Наука, 1971 – 240 с.
[2] Бибиков Ю.Н., Общий курс дифференциальных уравнений, изд. Ленинградского университета, 1981 – 232 с.
[3] Еругин Н.П., Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. 3-е издание, М. изд. Наука и Техника, 1979 – 744 с.
[4] Мироненко В.И., Отражающая функция и периодические решения дифференциальных уравнений, г. Минск: изд. Университетское, 1986 – 76 с.
[5] Понтрягин Л.С., Обыкновенные дифференциальные уравнения, М.: Наука, 1970 – 331 с.