Системы с постоянной четной частью (стр. 4 из 5)
Системы вида (13) будут иметь семейства решений с постоянной четной частью. В этом легко убедится, проделав вычисления, аналогичные предыдущим примерам.
5. Простые и простейшие системы
Лемма 9Для всякой непрерывно дифференцируемой функции
для которой выполнены тождества (4), имеют место соотношения
Теорема 10Для всякой дважды непрерывно дифференцируемой функции определенной в симметричной области 
, содержащей гиперплоскость 
для которой выполнены тождества (4), существует дифференциальная система
c непрерывно дифференцируемой правой частью, отражающая функция которой совпадает с
.Теорема 11Для всякой дважды непрерывно дифференцируемой функции
определенной в области
содержащей гиперплоскость 
, для которой выполнены тождества (4), при всех 
и достаточно малых 
существует дифференциальная система
отражающая функция которой совпадает с
а общий интеграл задается формулой 
Следствие 12Дважды непрерывно дифференцируемая функция
является отражающей функцией хотя бы одной дифференциальной системы тогда и только тогда, когда для нее выполнены тождества (4).
Системы, существование которых гарантируется теоремами 10 и 11, называются соответственно простой и простейшей.
Теорема 13Пусть
простейшая система, тогда
где
– отражающая функция системы (1).Доказательство. Если система простейшая,
Теорема 14Пусть
есть отражающая функция некоторой дифференциальной системы, решения которой однозначно определяются своими начальными данными, а для непрерывно дифференцируемой функции
выполнены тождества (4). Тогда для того, чтобы в области
функция 
совпадала с 
необходимо и достаточно, чтобы рассматриваемая система имела вид 
или вид
где
есть некоторая непрерывная вектор-функция.
Будем говорить, что множество систем вида (1) образует класс эквивалентности, если существует дифференцируемая функция
со свойствами:
1) Oтражающая функция
любой системы из рассматриваемого множества совпадает в своей области определения
с функцией 
2) Любая система вида (1), отражающая функция
которой совпадает в области
с функцией содержится в рассматриваемом множестве.Две системы вида (1), принадлежащие одному классу эквивалентности, будем называть эквивалентными. Допуская определенную вольность речи, будем говорить также, что они имеют одну и ту же отражающую функцию. Функцию
при этом будем называть отражающей функцией класса, а класс – соответствующим отражающей функции .Из третьего свойства отражающей функции следует, что система (1) и система
принадлежат одному классу эквивалентности тогда и только тогда, когда система уравнений
совместна.
Необходимым условием совместности этой системы является тождество
.6. Построение множества систем, четная часть общего решения которых постоянна
6.1 Системы, имеющие постоянную четную часть
Пусть нам дана система
(14)Перед нами стоит следующий вопрос о том, когда семейство решений этой системы будут иметь постоянную четную часть.
(15)То есть, когда
не будет зависеть от времени 
.Возьмем отражающую функцию системы (14)
и используя 
получим четную часть следующим образом:
(16)Теорема 15Если выполнено тождество
где
– отражающая функция, для линейной системы вида (14), то любое решение этой системы имеет постоянную четную часть.Доказательство. Возьмем любое решение
системы (14). Его производная 
Поэтому можем записать
Из условия теоремы имеем
Таким образом получили, что
– четная вектор-функция. Тогда 
6.2 Построение систем с заданной четной частью
Рассмотрим систему (14). Будем строить систему с заданной четной частью.
Пусть нам известна четная часть
. Воспользуемся формулой (15) и преобразуем ее 
Следовательно, можем записать
Отсюда зная (3), получим
где
– отражающая функция системы. Исключая 
из предыдущего соотношения, с произвольной отражающей функцией , удовлетворяющей условию 
получим требуемую систему.
Пример 16Пусть
где
– заданная четная часть, 
. Продифференцируем обе части равенства