Многомерная геометрия (стр. 10 из 16)

Пример. В трехмерном евклидовом пространстве с заданной декартовой прямоугольной системой координат (

) рассмотрим прямоугольные параллелепипеды, ребра которых параллельны координатным осям. Пусть ( ) – координаты центра параллелепипеда, – длины его ребер, параллельных осям соответственно. Обозначим через множество тех параллелепипедов указанного вида, центры которых лежат в кубе , , , длины ребер не превышают . Каждому параллелепипеду из множества можно поставить в соответствие точку шестимерного аффинного пространства с координатами ( , ). Тогда само множество можно рассматривать как шестимерный параллелепипед.

, , ,

, , .

Затем, что геометрические фигуры одного пространства часто бывает удобно рассматривать как точки другого пространства.

Определение. Множество точек в аффинном пространстве

называется ограниченным, если координаты всех точек этого множества удовлетворяют неравенству ( > 0 – некоторое число).

Это определение не зависит от выбора аффинной системы координат. Множество ограниченно в том и только в том случае, если оно содержится в некотором параллелепипеде.

Определение. Выпуклой оболочкой множества

точек в аффинном пространстве называется такое выпуклое множество , которое содержится в любом выпуклом множестве, содержащем .

Пример. 1) Выпуклой оболочкой двух точек

, является отрезок .

2) Выпуклая оболочка любого конечного числа точек является ограниченным выпуклым многогранником, а конечная система точек – его вершинами.

Пусть в аффинном пространстве

даны точки с радиус-векторами соответственно.

Определение. Выпуклая оболочка системы точек

, находящихся в общем положении, называется -мерным симплексом с вершинами .

Симплекс с вершинами

при . При этом числа называются барицентрическими координатами точки симплекса, имеющей радиус-вектор .

Частные случаи:

нульмерный симплекс – одна точка;

одномерный симплекс - отрезок;

двумерный симплекс – треугольник;

трехмерный симплекс – треугольная пирамида.

Точка симплекса, в которой все барицентрические координаты равны между собой

, называется центром симплекса.

Пусть

- симплекс с вершинами ; и пусть - какой-нибудь из его вершин. -мерный симплекс, который является выпуклой оболочкой вершин называется -мерной гранью симплекса . Одномерные грани, то есть отрезки, соединяющие вершины, называются ребрами симплекса.

Две грани размерности

и - называются противоположными гранями симплекса , если они не имеют общих вершин.

В качестве упражнений докажем, что симплекс является выпуклой оболочкой пары противоположных граней, и что противоположные грани симплекса всегда располагаются в скрещивающихся плоскостях и что отрезок, соединяющий центры противоположных граней, проходит через центр симплекса.

Докажем, что

-мерный симплекс в -мерном пространстве представляет собой пересечение замкнутых подпространств в числе .