Многомерная геометрия (стр. 13 из 16)

3. Аффинность k – симплексов.

Если даны два произвольных k – симплекса

и , то системы их вершин определяют аффинное преобразование, переводящее первую из этих систем вершин во вторую.

Так как при аффинном преобразовании плоскости переходят в плоскости, это аффинное преобразование переводит весь k – симплекс

в k – симплекс . Поэтому всякие два k – симплекса аффинны.

Относительный объем k – симплекса, определяемого уравнением (8.1) при

= , где , выражается по формуле при аффинном преобразовании с оператором умножается на определитель матрицы оператора , получаем, что при аффинном преобразовании относительные объемы всех k – симплексов умножаются на определитель матрицы этого аффинного преобразования, т.е. если k – симплекс с относительным объемом переходит при аффинном преобразовании с матрицей в k – симплекс с объемом , то, так же как в случае k – параллелепипедов,

= . (8.9)

Отсюда вытекает, что отношения объемов k – симплексов не изменяются при аффинных преобразованиях.

Правильный k – симплекс

Определение правильных многоугольников и многогранников позволяет определить правильный k – симплекс.

Прежде всего построим правильный k – симплекс. Правильный k – симплекс при

= 2 – равносторонний треугольник. Равносторонний треугольник с центром в начале координат и со стороной на прямой имеет вершины в точках с координатами , и .

Рис. 29

Для построения правильного k – симплекса

с центром в начале системы прямоугольных координат и с гранью на плоскости предположим, что мы построили аналитичный правильный - симплекс.

Так как центр О k – симплекса делит отрезок прямой

между точкой и плоскостью в отношении : 1, а прямая совпадает с -ой координатной осью, вершина имеет координаты (0, 0, 0, … ); -е координаты вершин равны – 1, а первые -1 координаты этих вершин можно получить из координат вершин ( -1) - симплекса умножением их на такой множитель , чтобы все расстояния , , …, = =

Расстояние от центра построенного

- симплекса до его ( -1) – граней равно 1, а расстояние от того же центра до вершин этого - симплекса равно . Длина каждого из ребер этого - симплекса равна .

Из определения правильного - симплекса видно, что все - грани правильного - симплекса являются правильными - симплексами.

Рис.30

На рисунке изображен правильный (

-1) – симплекс ( = 4)

Объем правильного

- симплекса.

Вычислим объем построенного правильного симплекса. Так как объем основания этого

- симплекса равен произведению , а высота этого - симплекса равна +1, получаем, что

.

.

При

= 2 формула дает нам .

При

= 3 формула .

Объем правильного

- симплекса, ( -1) – грани которого находятся на расстоянии от его центра, равен

.

§ 9. K-шары в пространстве

Называть k-мерной сферой евклидова k-пространства или k-сферой этого пространства множество всех точек этого пространства, лежащих в одной (k + 1)-плоскости и отстоящих от данной точки, называемой центром k-сферы, на одном и том же расстоянии, называемом радиусом k-сферы.

При k = n– 1 k-сфера определяется как множество всех точек пространства, отстоящих от одной точки на одном и том же расстоянии: в дальнейшем, говоря «сфера», будем иметь в виду (n– 1)-сферу. При k = 1, k-сфера называется окружностью.

Если радиус (k– 1)-сферы равен R, то множество всех точек k-плоскости этой (k– 1)-cферы, находящихся от центра (k– 1)-cферы на расстоянии

, называется k-шаром. При k = nn-шар определяется как множество всех точек n-пространства, отстоящих от центра сферы на расстоянии . В дальнейшем, говоря «шар», будем иметь в виду n-шар. При k = 2 k-шар называется кругом.