Многомерная геометрия (стр. 16 из 16)

Механика Галилея-Ньютона хорошо согласуется с практикой при малых скоростях, но при больших скоростях, сравнимых со скоростью света, эта механика заметно расходится с практикой; согласно механике Галилея-Ньютона, если скорость света по отношению к некоторой системе координат равна с, то по отношению к системе координат, движущейся в том же или обратном направлении со скоростью v, эта скорость соответственно должна быть равна c – v или c + v. Но, как показывает эксперимент, скорость света одна и та же по отношению ко всем системам координат, движущихся друг относительно друга прямолинейно и равномерно. Если скорость v, во много раз меньше скорости с, скорости c – v и c + vпрактически неотличимы от скорости с, но в случае, когда скорость v сравнима со скоростью с, отличие скорости света от скоростей c – v и c + v легко заметить.

§ 12. Пространство-время специальной теории относительности

Для того чтобы выполнялось условие постоянства скорости света для всех систем координат, движущихся равномерно и прямолинейно друг относительно друга, достаточно, чтобы для всех таких систем прямоугольных координат выполнялось соотношение

то есть

(12. 1)

Это условие не может быть выполнено в механике Галилея-Ньютона, где координата

не может зависеть от координаты . Для того чтобы удовлетворить этому условию, следует отказаться от понятия об абсолютном времени и принять, что пространство и время – не изолированные друг от друга формы существования материи, а две стороны существования одной и той же формы.

Этому условию удовлетворяет механика специальной теории относительности Энштейна, дающая при скоростях, сравнимых со скоростью света, значительно большее согласие с практикой, чем механика Галилея-Ньютона. Если мы обозначим произведение ct, имеющее размерность длины через х⁴, то, согласно специальной теории относительности, при переходе от одной системы координат к другой такой системе, движущейся относительно неё равномерно и прямолинейно, координаты хⁱ (i = 1, 2, 3, 4) преобразуются по закону

(12. 2)

причём

(12. 3)

где

, .

Формула (12.2) совпадает с формулой преобразования прямоугольных координат обычного n – пространства при n = 4, но формула (12. 3) отличается от соответственного условия в 4-пространстве, в котором

.

Поэтому в случае специальной теории относительности можно по аналогии с обычным 4-пространством определить в 4-пространстве, точки которого определяют положения материальных точек в разные моменты времени, расстояния между точками, считая за расстояние между точками М₁ и М₂ с координатами

и квадратный корень из выражения . Определённое таким образом расстояние может быть как вещественным, так и чисто мнимым и равным нулю. В первом случае существует такая система координат, в которой точки М₁ и М₂ одновременны и расстояние М₁М₂ равно обычному расстоянию между ними в этой системе координат. Во втором случае существует такая система координат, в которой эти точки имеют одинаковые пространственные координаты и расстояние М₁М₂ равно произведению ic на отрезок времени между этими точками в этой системе координат. В третьем случае М₁М₂ = 0 и точки М₁ и М₂ можно соединить лучом света.

Определённое нами 4-пространство называют пространством Минковского. Преобразования (12.2) при

, удовлетворяющие условиям (12. 3), называют преобразованиями Лоренца.

Этот пример показывает плодотворность понятия 4-пространства, указывает на необходимость расширения понятия евклидова n-пространства в сторону отказа от знакоопределённости квадратичной формы, выражающей скалярный квадрат вектора х в функции его координат.

§ 13. Пространство-время общей теории относительности

Описание пространства-времени с помощью псевдоевклидова 4-пространства индекса 3 в специальной теории относительности, согласующееся с практикой лучше, чем описание пространства-времени в классической механике, является только приближённым описанием пространства-времени. Следующее приближение было предложено самим Энштейном в его общей теории относительности. Согласно этой теории пространство-время является псевдоримановым 4-пространством индекса 3, кривизна в 2-мерных направлениях которого больше там, где больше плотность материи. Таким образом, не только пространство и время оказываются взаимозависимыми, но их свойства оказываются зависящими от материи, формой существования которой они являются.

Из того, что в малой области геометрия псевдоримановых пространств близка к геометрии псевдоевклидова пространства, образованного векторами в одной из точек этой области, видно, что специальная теория относительности хорошо согласуется с практикой в сравнительно небольших областях пространства-времени, а в больших областях проявляются свойства, описываемые общей теорией относительности.

Хотя с прогрессом науки мы узнаём свойства всё больших областей пространства-времени, известная нам часть вселенной остаётся ограниченной и по свойствам этой части мира мы можем судить о геометрических свойствах мирового пространства-времени в целом только в порядке грубого приближения.

Наиболее грубое приближение к картине мирового пространства-времени в целом мы получим, если предположим, что материя распределена в пространстве–времени совершенно равномерно и, следовательно, пространство-время представляет собой псевдориманово 4-пространство индекса 3 постоянной кривизны. Если мы представим себе такое пространство в виде сферы вещественного или мнимого радиуса в псевдоевклидовом 5-пространстве соответственно индекса 4 или 3, а поверхности t =const также в порядке грубого приближения представим себе сечениями этой сферы параллельными плоскостями, то с течением времени «пространственное сечение» мира уменьшается или расширяется в зависимости от положения секущей плоскости. В первом случае кривизна «пространственного сечения» - постоянная положительная, во втором случае – постоянная отрицательная.

а) б)

Рис. 38

На рис. 38 изображены трёхмерные аналоги сфер вещественного и мнимого радиуса в псевдоевклидовом 5-пространстве. Изложенная картина мира с первого взгляда кажется неправдоподобной, но она подтверждается астрономическими наблюдениями, свидетельствующими о расширении известной нам вселенной. Это подтверждение указывает на возможность того, что реальное пространство-время, является псевдоримановым пространством переменной кривизны, соответствует этой картине мира «в среднем».

Заключение

Изучение k-мерного пространства весьма полезно как для уяснения многих закономерностей геометрии обычного пространства, являющегося частным случаем k-мерного пространства при k = 3, так и для более наглядного представления многих закономерностей алгебры, геометрии и анализа, связанных с уравнениями с k неизвестными.

Соотношения k-мерной геометрии находят применение и при решении транспортных задач о составлении оптимального способа перевозки грузов и т. д.

В данной работе были рассмотрены многомерные геометрические образы в k-мерных пространствах и четырёхмерное пространство, которое наши глаза никогда не видели. Также исследовались четырёхмерные предметы пространства. На основе изложенного материала исследовали необходимость введения многомерного пространства системы, заданной k-параметрами, в которой появляются понятия k-мерной линии плоскости.

Литература

1. Александров А. Д., Нецветаева Н. Ю. Геометрия. – М.: Наука, 1990.

2. Атанасян Л. С. Геометрия. ч. 2 – М., 1987.

3. Базылев В. Т. и др. Геометрия. Учеб. Пособие для студентов физ.-мат. Факультетов пед. институтов – М.: «Просвещение», 1975.

4. Вигнер Е. Непостижимая эффективность математики в естественных науках // УФН. – 1968. – Т. 94, вып. 3.

5. Гельфанд И. М., Глаголева Е. Г., Кириллов Н. А. Метод координат. Изд. 3 – М.: Наука, 1968.

6. Гордевский Д. З. Популярное введение в многомерную геометрию. – Харьков: Изд-во Харьк. ун-та, 1964.

7. Ефимов Н. В., Розендорн Э. Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. – М.: Наука, 1970.

8. Манин Ю. И. Новые размерности в геометрии // Успехи мат. Наук, 1984, т. 39, вып. 6.

9. Моденов Л. С. Аналитическая геометрия. – М., 1969.

10. Парнасский И. В. Многомерные пространства. – М.: Наука, 1978.

11. Понтрягин Л. С. Знакомство с высшей математикой. - Изд. 2. – М.: Наука, 1987.

12. Прохоров Ю. В. Большой энциклопедический словарь по математике. – М.: Науч. издат., 1998.

13. Розенфельд Б. А. Многомерные пространства. – М.: Наука, 1966.

14. Сазанов А. А. Четырёхмерный мир Минковского. – М.: Наука, 1988.

15. Стрингхем П. Г. Правильные фигуры в n-мерном пространстве. Под ред. Фаге, Успехи математических наук, вып. 10 – М., 1954.

16. Хлопонина Э. П. Аналитическая геометрия аффинных и евклидовых пространств: Учебное пособие, ч. 1 – Ставрополь: Изд-во СГУ, 1998.