Линия отрыва конкретной науки от философии, которую проводили вульгарные материалисты, характерна и для последователей О. Канта, представителей так называемой позитивной философии, у которых как отмечал К. Маркс, "нет ровно ничего позитивного кроме их высокомерия". Позитивисты выступили с критикой некоторых ортодоксальных утверждений О. Канта. Они сделали некоторые разделы его философии более соответствующими духу времени, внесли некоторые дополнения и в разработку философских проблем математики.
Вместе с тем, в ряде моментов рассуждения позитивистов представляются менее содержательными, чем воззрение Канта. Согласно одного из позитивистов - Л. Хорда - математика "будет вполне поглощена другими науками и не будет более занимать отдельного места или положения в научной иерархии. Так называемая чистая или абстрактная математика не имеет реального существования сама по себе".
Наиболее благожелательное отношение к математике по сравнению с рассмотренными идеалистическими школами обнаруживается у неокантианцев. Самый старый и значительный из неокантианцев Ф. Ланге истолковывает кантовский априоризм как психофизиологическую теорию. Ланге придал своей философии социально-политическую ориентацию и каких-то новых идей относительно природы математики не высказал.
В 70-х годах неокантианство как бы расслаивается на два главных направления - Баденскую и Марбургскую школы. Видным представителем первой были В. Виндельбанд (1848-1915) и Г. Риккерт, второй - Г. Коген (1842-1912) и П. Наторп (1854-1924).
Представители баденской школы положительно оценивали использование математики естествознания, но были против использования ее при изучении социальных явлений.
В пределах марбургской школы особенно много внимания анализу математического познания уделял Г. Коген. Абсолютизируя роль математической абстракции познания, Коген считает, что задача философии исследовать строго трансцендентальные объекты, которые носят рассудочный характер. Он объявляет, что "факты науки" формируются фактически исключительно творческой силой мышления. Ценностью представляется только путь познаний, а не та цель, к достижению которой оно стремится. Способ обоснования математических положений через установление их взаимосогласованности логической связи с исходными понятиями переносится Когеном на весь познавательный процесс в качестве универсального средства установления личности.
Проведенный анализ различных направлений идеалистической философии с точки зрения разработки в ней философских проблем математики дает общее представление о том, какой хотели видеть математику приверженцы этой философии. Чтобы иметь представление, какой она была в действительности дадим краткую характеристику ее развития во второй половине ХIХ столетия.
По объему накопленных знаний, по глубине открытий, по уровню их абстрактности и эффективности применений пять-шесть десятилетий развития математики, в ХIХ веке сравнимы со столетиями предшествующей истории.
В ХIХ веке как бы продолжая традиции предшествующих столетий, математизация охватывает новые области науки. К астрономии, механике, оптике, требовавшим обширных математических знаний, присоединяются термодинамика, теория магнетизма, электродинамика. Быстро растут математические запросы техники. Основным математическим аппаратом новых областей механики и математической физики выступают теория дифференциальных уровней с частными производными, теория потенциалов и другие. Все более ощутимые запросы к математике начинают предъявлять изыскания в области социальных явлений.
Наряду с развитием прикладных областей мощное развертывание получает чистая математика. В чистой математике создаются разделы, объекты которых формируются не только путем непосредственного абстрагирования от созерцаемых в окружающей действительности количественных отношений и пространственных форм, но очень бурно возникают абстракции от абстракций, абстракции второго порядка.
Предметом сознательного и повышенного интереса математиков становятся вопросы формирования теоретических объектов, вопросы логики и методологии математического познания.
Математика все настоятельнее требовала таких ученых, которые бы сочетали в себе теоретика, практика и организатора.
Если дать анализ мировоззрения Б. Римана, М. Кантора, П.Л. Чебышева, С.А. Ковалевской и других великих математиков ХIХ века, можно убедиться, что философскую основу их продуктивной деятельности составляли материалистические принципы, которые не редко сочетались с элементами диалектики, хотя их материализм не был последовательным.
Сопоставляя реальный процесс развития математики с развитием философской мысли во второй половине ХIХ века, можно сделать заключение, что наиболее глубокой и всеобъемлющей философской концепцией математического познания является система взглядов К. Маркса и Ф. Энгельса. Они применили диалектико-материалистический метод к истории развития математики и ее новым достижениям. Они сумели дать ответ на наиболее важные мировоззренческие и методологические проблемы, поставленные на повестку дня прогрессом математики ХIХ века.
К. Маркс и Ф. Энгельс убедительно показали не способность идеализма и метафизики служить общей методологией математического познания. Реальный процесс развития этой науки актуализировал необходимость перехода на позиции диалектического материализма, и в среде математиков началось стихийное движение в этом направлении. Но этот переход в рассматриваемый период осуществлен не был. Разработанная К. Марксом и Ф. Энгельсом система взглядов на природу математического познания была тем идеалом, к достижению которого шло развитие математических знаний во второй половине ХIХ века.
Таким образом, мы рассмотрели взаимодействие философии и математики на различных этапах исторического развития. Эти науки находятся постоянно в неразрывной связи. Уже на самых ранних этапах развития человеческой мысли они идут рядом, дополняя друг друга и друг на друга воздействуя. Причем характер этого взаимодействия находится, как и непосредственное развитие каждой из наук в отдельности, в строгой зависимости от развития производительных сил и нужд производства. Это видно хотя бы на примере того, что структура этого взаимодействия усложняется по мере развития производительных сил и стоит на мертвой точке в период средневековья.
Характер взаимодействия философии на математику выражается смелостью и гибкостью математических теорий в рассматриваемый период времени. “Несмотря на особенность математического знания, методов его построения и использования в естествознании, не смотря на все, казалось бы загадочные эффекты, в основе математической мощи лежит природное начало - единство ее структур и проявлений. ” Характер воздействия математики на философию имеет многостороннее выражение, но следует отметить влияние математики на соотношение сил в непримиримой борьбе между материализмом и идеализмом. “В философской традиции обращение к рассмотрению математических знаний всегда играло очень важную роль. Математика выступала как образец достоверного и неопровержимого знания." Знание математики, строгость и четкость ее методов помогают философам вырабатывать необходимую, более соответствующую духу времени, позицию. В то же время философия влияет на такие определяющие понятия математики, как предмет, задачи, метод.
В современных условиях, в связи с усиливающимся прогрессом, развитием наук, диалектический и исторический материализм стали достоянием подавляющего большинства математиков, что имеет свое влияние как на философские проблемы математики, так и на всю математику в целом. Взаимодействие между философией и математикой приобрело новые характерные черты. Это связано с тем, что в связи с требованиями цивилизации в математике появилось и развилось множество направлений. Кроме того, не потеряла свою актуальность борьба между материализмом и идеализмом, что выразилось в развитии множества разновидностей философии. Это оказывает непосредственное влияние на обоснование математики, ее развитие.
Таким образом, взаимосвязь философии и математики не утрачена, она еще более укрепилась. Эти две науки будут идти рядом пока существовать будет человеческое знание.