Создание теории флюксий Ньютона осуществляется в органическом единстве математических знаний и философских идей. Философские понятия выполняют синтезирующую роль по отношению к фактам математического познания, соотношение между этими понятиями переносятся на соответствующий понятийный аппарат дифференциального и интегрального исчисления, они используются в процессе обоснования последнего.
Неудовлетворённость сложившимися средствами решения математических задач и стремление создать новый общий метод математики у Лейбница обусловлены методологическими соображениями. Многие основные черты нового метода математики (дифференциального исчисления) выступают как конкретное преломление применительно к математическому познанию определяющих характеристик его философской методологии. Обоснование анализа проводится преимущественно метафизическими рассуждениями.
Переход математики на новый этап исторического развития требовал переосмысления её мировоззренческой и методологической основ, разработки нового комплекса философских проблем математики. Такого рода исследования в анализируемый период выступают как одно из важнейших направлений философского познания.
"География" эпохи Просвещения весьма обширна. Философское познание и математическая деятельность активно развиваются в странах Западной Европы, в России, на Американском континенте.
Логическая противоречивость оснований анализа, несогласованность между его идейным содержанием и вычислительным аппаратом делали его уязвимым для критики. Этим не замедлили воспользоваться те представители идеалистической философии, которые хотели дискредитировать математику, развитие которой осуществлялось преимущественно на материалистической основе. Наиболее видным философом такого типа является Дж. Беркли (1685-1753 гг.).
В своей основной работе - "трактат о началах человеческого знания, в котором исследуются главные причины заблуждений и трудности наук, а так же основания скептицизма, атеизма и безверия" - Дж. Беркли объявляет причиной всех указанных в заглавии зол материализм и основную задачу работы видит в опровержении фундаментального понятия материалистического мировоззрения - понятие материи. Чтобы разорвать связь математики с материализмом, Беркли стремится максимально привязать её чувственно воспринимаемым образом, дать ей субъективистскую трактовку, а всё что не поддаётся такой трансформации, удалить, ссылаясь на практическую бесполезность и умозрительность. Поэтому Беркли отрицал бесконечное в форме бесконечной делимости конечного, и в форме бесконечно малых и больших величин. Английский философ представляет математику как науку об идеях, получаемых от ощущений. Её объекты - это знаки, обозначающие комплексы идей. Беркли пытается изменить не только "внутреннюю жизнь" математики, но и применимость её в других науках. Беркли выдвигает свою концепцию математики как логическое следствие субъективно-идеалистической философии, и тот факт, что эта концепция оказалась регрессивной, свидетельствует о порочности той философской основы, на которой она воздвигнута. Беркли в угоду своей философской доктрине деформирует процесс научного познания в той степени, что прогресс его становится не возможен. Его учение об идеях явилось переходной ступенью к возникновению агностицизма в форме юмизма. Последующее развитие математики не оправдало надежды Беркли.
В том, что английская математика сумела сохранить материалистическую платформу развития своей науки, несмотря на столь активные нападки субъективного идеализма, существенную роль сыграло наличие сильных материалистических традиций в английской философии.
Среди английских философов - материалистов конца XVII-первой половины XVIII веков, особого внимания заслуживают воззрения Джонам Толанда (1670-1722), который уделял много внимания анализу таких понятий как материя, движение, пространство, время, анализировал связь математического познания с физическим и философским.
Толанд настаивает на необходимости разграничения "между пространственным движением и движущей силой, или активностью, либо пространственное движение есть только перемена в положении тела". В данном случае английский материалист выходит за границы механического понимания движения, свойственного философии XVII- XVIII веков и приближается к диалектическому взгляду, согласно которому "движение, в применении к материи - это изменение вообще".
Историческая заслуга Толанда состоит в выдвижении и обосновании положения о том, что "движение есть существенное свойство материи… Столь же неотделимая от ее природы, столь не отделимы от нее непроницаемость и протяжение". Толанд заложил основы для нового понимания природы математического познания. В его сочинениях можно встретить немало интересных высказываний, относящихся к логико-гносеологическому анализу математики. Толанд указывал, что содержание математических понятий берется из реально существующего мира. Нельзя не согласиться с замечанием Толанда, что различие между математическим и реальным объектами постоянно надо иметь ввиду при пользовании метода математической дедукции.
Видным представителем философской мысли континентальной Европы, деятельность которого тесно связана с математическим познанием, в рассматриваемый период был Христиан Вольф (1679-1754).
Идеалом научной системы у Вольфа выступает математика: во-первых, в силу "несравненно хорошего порядка, коим содержащееся в ней учение предназначается и утверждается", во-вторых, потому что ее знания "как в истинном познании естества, так и в человеческой жизни весьма много приносят пользы. Под методом математики он понимает "порядок, который математики употребляют", когда изложения своих знаний начинают с определений, аксиом, затем переходят к теоремам, проблемам, примечаниям т.д. Вольф все подвергает рассудочной обработке, классифицирует, определяет, дедуцирует. Просветительская деятельность Вольфа, её стремление к ясному, точному, доступному изложению знаний имели в определённой мере положительное значение. Способ изложения математики в его системе абсолютизирован до предела и это оказало регрессивное влияние, как на развитие философии, так и на развитие математики.
Необоснованное стремление представить математический способ построения системы науки как универсальное средство постижения истины, в конечном итоге, привело к подрыву авторитета математики, к дискриминации процесса математизации научного познания.
В пределах самой математики точная и педантически скучная схема изложения в лучшем случае могла служить для представления начальных сведений по элементарной математике, но она сковывала самостоятельную исследовательскую деятельность и в наиболее интенсивно развивавшейся области - области математического анализа - её не придерживались.
Следует отметить так же деятельность Петербургской академии наук. Иностранные учёные оказали ей существенную поддержку, но стремительный прогресс смог иметь место, прежде всего потому, что для этого были созданы необходимые условия, русская наука выдвинула своих талантливых исследователей. Наиболее видными из них является М.В. Ломоносов (1711 - 1765).
М.В. Ломоносов был хорошо знаком с математикой того времени. Из высказываний видно, что он очень высоко оценивал математику как средство познания логически строгих и всеобщих истин. Математический метод рассматривался учёным не только как способ упорядоченья знаний, ему отводилась роль важного эвристического средства по отношению к другим наукам, его исследования во многих областях науки основывались на количественном анализе.
Если сравнить воззрение М.В. Ломоносова на природу математики с третированием этой науки у Беркли или с догматическим наложением математической схемы на чуждое ей содержание у Х. Вольфа, то нужно признать, что великий русский учёный придерживался значительно более продуктивной методологической основы математической деятельности и в этом отношении может быть отнесён к наиболее прогрессивным мыслителям мирового масштаба первой половины XVIII века.
Философия Франции в XVIII веке представлена многочисленной плеядой выдающихся мыслителей. Одним из которых является Ж.А. Кондорсе, который рассматривает основные исторические этапы математического познания в связи с общим развитием материальной и духовной культуры человечества.
Кондорсе в схематической форме отличил наиболее существенные этапы эволюции математической мысли. Основную ценность составляют не столько приводимые факты, сколько попытки объяснить их. Кондорсе считает, что математика возникла лишь на определённом этапе развития человеческой культуры и развивалась поступательно. Это положение разделяет с ним и Гельвеций: "Представления о числах … так поразительно ограничены у некоторых народов, что они не умеют считать дальше трех, и выражают число больше трёх, словом много". Возникновение исходных геометрических и арифметических знаний Кондорсе связывает с необходимостью удовлетворения производственных потребностей. Идея определяющего воздействия производственной деятельности на процесс научного познания в общем виде формируется у Кондорсе довольно чётко. Интересна его попытка выявить в процессе прогрессирующего развития знаний тенденции и закономерности как качественного, так и количественного характера. Мерилом прогресса некоторой науки у него выступает "сумма заключающихся в ней истин". Важная роль в ускорении прогресса математики отводится Кондорсе усилению взаимодействия её отдельных дисциплин. Обобщая пройденный научным познанием путь, Кондорсе приходит к выводу, что ни одна наука не может спуститься ниже той ступени, на которую она возведена.