Указывая на плодотворность взаимодействия между философией эпохи Просвещения и математикой, следует иметь в виду ограниченность масштабов этого процесса, некоторые отрицательные моменты, которыми он сопровождался. По сравнению с философскими трактатами XVII века в сочинениях философов рассматриваемой эпохи математический материал используется в значительно меньшей мере. Анализ природы математического познания носит фрагментарный характер, использование математики нередко проводится некритически.
Определенные стороны математического познания вызывали неудовлетворенность у философов эпохи Просвещения. Тесная связь некоторых теоретических построений математики с предшествующей метафизикой, против которой выступала философия времен Просвещения, иногда служила основанием для распространения критики на математику. Для представителей математического познания отчасти были неприемлемыми узкий практицизм и эмпиризм, проявлявшиеся во взглядах отдельных философов эпохи Просвещения, они не могли согласиться и с недооценкой последними перспектив развития их науки. Однако, в целом, отмеченные разногласия не снимают того факта, что именно материализм служил философской основой тех замечательных успехов, которых добились математики в XVIII столетии, а математика играла существенную роль в борьбе материализма против идеализма и религии.
Политической революции во Франции сопутствовала философская революция в Германии. Кант начал ее тем, что ниспроверг устарелую систему лейбницевской метафизики, которая к концу прошлого столетия принята была во всех европейских университетах. Фихте и Шеллинг начали перестройку философии, а Гегель завершил новую систему.
Немецкая классическая философия представляет одно из наиболее грандиозных созданий человеческого разума. Ее непреходящее историческое значение состоит в том, что в ней, хотя и в ложной, идеалистической форме, осуществлялась систематическая разработка диалектики.
Научную деятельность Канта в соответствии с эволюцией его философских воззрений, обычно делят на два периода - "до критический" (до 1770 года) и последующий "критический", получивший свое наименование от названия основной работы этого периода - "Критики чистого разума".
Само по себе стремление последовательно проследить в области математического познания проявления общих философских принципов и логических следствий из них, пронизывающее работы Канта, заслуживает положительной оценки, и великая заслуга Канта состоит в том, что после Аристотеля ему удалось создать наиболее обширную, логически развернутую систему философии математики. Но если философские принципы не совсем соответствуют природе математики, а их догматически пытаются внедрить в нее, то идейное содержание данной науки деформируется. Подобного рода негативные моменты воздействия философии на математику находят проявления в творчестве Канта. Так, обнаружив несоответствие некоторого философского положения с фактом математического познания, он критически подходит к выяснению того, что же в таком случае требует изменения - философское положение или трактовка математических законов.
Согласно Канту, понятие геометрии и арифметики не являются отражением структуры космоса, как думали пифагорейцы, и не извлечены посредством абстракций из опыта, но представляют собой отражение чистого или априорного созерцания, присущего человеку наряду с созерцанием эмпирическим. Геометрия по Канту не что иное, как выраженная в понятиях чистая интуиция пространства, арифметика находится в таком же отношении к чистому представлению времени. Математика, таким образом, может быть определена как система синтетических суждений, выражающая структуры априорных форм чувствительности. Как система выводов и доказательств математика должна быть полностью интуитивно ясна: по Канту, все математические доказательства "постоянно следуют за чистым созерцанием на основании всегда очевидного синтеза".
Исходя из современных представлений, не составляет особого труда указать на несостоятельность кантовских взглядов на математику, но не следует забывать, что современная позиция есть результат длительного исторического развития как философской, так и конкретно научной мысли. Это развитие привело к критической переработке кантовского учения о математике, причем критика не сводилась к отбрасыванию его утверждений. Качественно новые воззрения возникли путем удержания всего того ценного, что сумел открыть этот выдающийся мыслитель.
Философское наследие Фихте не содержит столь же богатого материала для изучения проблемы взаимосвязи философии и математики, как это имеет место в сочинениях Канта, но, тем не менее, ряд рассуждений затрагивает некоторые её интересные аспекты.
Целью Фихте было укрепить основания философского знания, упрочить тот фундамент, на котором строил философию Кант. На усовершенствованном основании, по его мнению, философия должна строиться с математической достоверностью. Кроме рассуждений о процессе взаимосвязи философии и математики в работах Фихте имеются и некоторые более конкретные замечания по отдельным философским проблемам математики, в частности, несколько видоизмененные изложения кантовской концепции пространства. Фихте, считает, что "протяжённость в пространстве есть не что иное, как самосозерцание свой способности быть бесконечным в созерцающим". Можно отметить некоторые отдельные идеи Фихте, воспринятые в последующем развитии научного познания (идею цикличности при обоснованном построении научной системы, положение об относительной самостоятельности обоснования математики по отношению к философии и в то же время утверждение о необходимости философского анализа исходных принципов математики), но в целом этот мыслитель не внёс каких-то существенных изменений в кантовскую философию математики, которую он взял за основу своих изысканий, его деятельность не повлияла ощутимым образом на процесс взаимодействия философии и математики.
Примерно тот же вывод можно сделать относительно Шеллинга. В сочинениях этого мыслителя встречаются отдельные натурфилософские размышления о природе математики и её основных объектов: о пространстве и времени, соотношении бесконечного и конечного и т.д. Единство и различие философии и математических наук он связывает с различным пониманием соотношения конечного и бесконечного.
Обращение к анализу математического познания у Гегеля, судя по его первому крупному произведению - "Феноменология духа", обусловлена мотивами, подобными тем, которыми руководствовался Кант. У обоих мыслителей интерес к математике направлялся стремлением к достижению единой цели: Кант пытался построить метафизику как систему достоверного знания, Гегель заявил, что его намереньем "было - способствовать приближению философии к форме науки - к той цели, достигнув, которой она могла бы отказаться от своего имени "любви к знанию" и быть "действительным знанием"". Если Кант считал, что философское и математическое знания по достоверности в идеале могут быть однородными, то Гегель убежден, что природа математических истин "отличается от природы философских истин". Математика, как пишет Гегель, считается наукой, прежде всего потому, что она доказательна. Только доказанное положение считается правомерным элементом системы, в математике "полное выведение результатов есть ход и средства познавания". Является ли такой путь познания идеальным? Нет, отвечает Гегель.
Союз между философией и математикой может быть действительным, если он основан на взаимном интересе. Гегель в принципе считал необходимым обращение математиков к философии. Что касается обращения философов к математике, то по этому вопросу он занял иную позицию, не способствовавшую укреплению союза данных наук. "Поскольку очевидность в математике "покоится лишь на бедности ее цели и несовершенстве ее материала", то она неприемлема в философии". Сам Гегель, если учесть, что он не был специалистом математики, для своего времени был очень хорошо знаком, как с историей математики, так и с ее новыми достижениями на уровне распространенных учебных пособий высшей школы.
Гегель знал математику на столько, что никто из его учеников не был в состоянии издать оставшиеся от него многочисленные математические рукописи.
Но мнение Гегеля по вопросу о необходимости философам обращаться к математике было противоположно тому, что он сам делал. С его точки зрения математика не может "что-то определить для метода и содержания философской науки".
Большинство исследователей акцентируют внимание на негативизм Гегеля к математике и недостаточно уделяют внимание тем интересным, оригинальным идеям, которые требуют осмысления и дальнейшего развития. Кроме того, при оценке гегелевской позиции, она не рассматривается в соотношении с реальным процессом развития математических знаний того времени. Чтобы устранить последний недостаток дадим краткую характеристику наиболее выдающихся достижений математической мысли конца XVIII- первых десятилетий XIX столетия и проследим, какое влияние на её развитие оказали взгляды Гегеля и других представителей немецкой классической философии.
В рассматриваемый период протекала деятельность таких выдающихся математиков, как Г. Монж (1746-1818), К.Ф. Гаусс (1777-1855), О.Л. Коши (1789-1857), Н.И. Лобачевский (1792-1856), Э. Галуа (1811-1832). Ими были получены многие первостепенные результаты, среди которых, прежде всего, следует упомянуть преобразование, совершённые в фундаменте трёх главных дисциплин: математического анализа (Коши), геометрии (Лобачевский, Гаусс, Больаи), алгебры (Галуа, Абель). Учёные, совершившие их, принадлежат к разным математическим школам. Так, Коши представляет математику Франции, Лобачевский - русскую математическую школу, Гаусс - математику Германии. Анализ мировоззрения данных учёных с целью выяснить влияние на ни них немецкой классической философии даст представление не только о силе такого влияния, но и о "географии" его распространения.