"Завершением новейшей философии является философия Гегеля. Поэтому историческая необходимость и оправдание новой философии по преимуществу связано с критикой Гегеля". Эти слова принадлежат Людвигу Фейербаху, который не только сумел правильно осмыслить основное направление последующего развития философской мысли, но и внес в него весомый вклад.
Материалистические принципы Фейербах наиболее полно раскрывает при анализе вопросов теории познания, религии, этики. Что касается философских проблем математики, то он ими не занимался. В его сочинениях лишь изредка встречаются отдельные высказывания, относящиеся к данной проблеме. Указывая на взаимную связь созерцания и мышления, Фейербах непосредственно с опытом связанным наукам отдавал предпочтение перед абстрактными теориями, и в этом отношении естествознание вызывало у него больше симпатий, чем математика. В целом фейербаховская критика очень слабо, лишь в опосредованной форме затрагивала идеалистические воззрения на природу математики, действенного влияния на процесс взаимосвязи философских и математических знаний она не оказала.
С учетом новых достижений математики и естествознания, К. Маркс и Ф. Энгельс с принципиально новых философских позиций осмыслили процесс взаимосвязи философии и математики, разработали качественно своеобразную систему философских проблем математики.
Диалектико-материалистическое решение вопроса о соотношении объективной и субъективной диалектики, выражающееся в наличии двух рядов взаимосвязанных законом позволило Энгельсу вскрыть объективную причину эффективного применения математики в самых различных областях человеческой деятельности и уточнить сам механизм этого применения.
В историческом процессе было создано не мало концепций философии математики, отличающихся между собой как по заложенным в их основу философским принципам, так и по содержанию тех математических знаний, которые в них используются. Определяющим компонентом философии математики выступает ее философская основа, в силу этого классификация данных концепций может быть по тому же критерию, по которому классифицируют философские системы. К. Маркс и Ф. Энгельс сумели четко определить такого рода критерий и сформулировали его как вопрос об отношении мышления к бытию, сознания к материи, назвав его основным вопросам философии. При философском анализе математического познания основной вопрос философии может быть сформулирован как вопрос об отношении математического познания к действительности.
Материалистическое решение данного вопроса у Энгельса приводит к характеристике математики как абстрактной науки, "занимающейся умственными построениями, хотя бы и являющимися отражениями реальности". Тот факт, что эти умственные построения (числа, фигуры, величины) или тот материал, с которым математика непосредственно имеет дело, принимает "чрезвычайно абстрактную форму, может лишь слабо затушевать его происхождение из внешнего мира".
Подчеркивая, что свойства и отношения материального мира первичны по отношению к объектам математики, что данные объекты органически связаны с ними, Энгельс тем самым на новой основе возрождает материалистическую позицию мыслителей ХVII- ХVIII веков.
Сохранив положения об опосредованности объектов математики мыслительной деятельностью, Энгельс называет их умственными построениями, но, в противоположность Гегелю, эти объекты понимаются не как формы выражения каких-то аспектов абсолютной идеи, а как отражения материального мира.
В силу этих вышеизложенных соображений Энгельс приходит к совершенно справедливому и логически обоснованному выводу о том, что математика является необходимым фрагментом общей естественнонаучной картины мира. Без нее эта картина мира была бы, очевидно, неполной. Именно философский синтез, объединяя, позволяет создать, общее, целостное, диалектическое представление о природе.
Философия К. Маркса и Ф. Энгельса утверждает необходимость творческого союза философии и других наук, в том числе и математики. Данный союз основывается на объективных потребностях использовать философские знания развитии математики и, в свою очередь, учитывать результаты математического познания в философских исследованиях.К. Маркс и Ф. Энгельс особенно много внимания уделяли анализу процесса взаимосвязи философии и естествознания. Учитывая родственность теоретического познания и математики, большинство высказанных ими положений непосредственно относится и к проблеме взаимосвязи философии и математики.
Ф. Энгельс указывает, что многие исследователи высказывают нигилизм по отношению к философии, но в силу того, что последняя объективно необходима для развития конкретной науки, "те, кто больше всех ругает философию, являются рабами как раз наихудших вульгаризированных остатков наихудших философских учений". "Какую бы позу не принимали естествоиспытатели, над ними властвует философия. Вопрос лишь в том, желают ли они, чтобы над ними властвовала какая-нибудь скверная модная философия, или же они желают руководствоваться такой формой теоретического мышления, которая основывается на знакомстве с историей мышления и ее достижений". Синтезируя многообразие форм воздействия философии на математику можно сказать, что философия является основой мировоззрения и наиболее общей методологией теоретической и практической деятельности, причем мировоззренческая и методологическая функции философии органически переплетаются. Изучение философии необходимо для развития теоретического мышления, что особенно актуально для математики. Более конкретно влияние философии на математику осуществляется через разработку философских проблем математики, которые как бы преломляют функции философии применительно к отдельным математическим исследованиям.
Философский анализ конкретных наук, согласно Ф. Энгельсу, не ограничивается выдвижением абстрактных идей и принципов. В отдельных случаях он приводит к таким результатам, которые сопоставимы с открытиями, сделанными представителями отдельных наук. В качестве примеров "естественнонаучных успехов философии", которые предвосхитили открытие естествоиспытателей "даже в их собственной области", Ф. Энгельс указывает следующие: "Лейбниц - основатель математики бесконечного … Кант - теории происхождения мира до Лапласса; Окен - первый принявший в Германии теорию развития".
В свою очередь математика оказывает существенное влияние на философскую мысль. Ее развитие подтверждает на конкретном материале истинность положений диалектико-материалистической философии. Энгельс находил в этой науке "диалектические вспомогательные средства и обороты", К. Маркс в "Математических рукописях" на основе анализа математического познания выявил ряд общих закономерностей познавательной деятельности, в частности идею об оборачиваемости метода познания. Содержание ряда математических понятий в обобщенном виде может быть использовано для обогащения соответствующих философских категорий. Математический аппарат широко используется классиками марксизма как вспомогательное средство в философских работах.
Выработанная классиками марксизма концепция математического познания в ХIХ веке не была единственной. Параллельно существуют другие философские течения, которыми тоже занимались в математике.
Одной из самых распространенных и влиятельных философских теорий в начале второй половины ХIХ столетия в Германии было волюнтаристское, и рационалистическое учение А. Шопенгауэра (1788 - 1860).
Исходя из принципов и волюнтаризма, Шопенгауэр негативно относился к исследованиям по обоснованию математики, к повышению логической строгости математических доказательств. С его точки зрения высшую степень достоверности дает непосредственное созерцание связи между элементами доказываемого положения.
"Пригодность математики - лишь косвенное: именно, ею следует пользоваться для тех целей, которые достижимы только посредством нее; сама же по себе математика оставляет ум на той же ступени, где она его нашла, и не только не способствует его дальнейшей культуре и развитию, но даже прямо задерживает их".
Шопенгауэр был "властелином дум" определенной части немецкой интеллигенции в атмосфере разочарования политической и духовной подавленности после революции 1848 г. Когда в конце 60-х - начале 70-х годов историческая обстановка изменилась, интерес к шопенгауэровской философии угасает. Популярными становятся те его последователи, которые, сохраняя принципы иррационализма и волюнтаризма, сумели придать им более приемлемую, не столь скудно обоснованную и менее пессимистическую форму. К ним, прежде всего, следует отнести Э. Гартмана (1842-1906).
Гартман принимает кантовское положение, но считает "за лучшее место оснований Канта предложить для его положения другие доказательства".
В то время математики интенсивно занимались уточнением основ своей науки, совершенствовали аксиоматику и механизм дедуцирования. Гартман как будто бы поддерживает их усилия. Он оказывает, что через математику "проходят два метода: дедуктивный или дискурсивный и интуитивный". Однако он стремился подорвать доверие к дедуктивному методу и на его место поставить метод интуитивный.
В 50-х годах ХIХ века оформляется в относительно самостоятельное течение так называемый вульгарный материализм. Основные представители этого течения - К. Фохт (1817-1895), Я. Молешотт (1822-1893), Л. Бюхнер (1824-1899). Математика анализируется данными исследователями очень слабо. При рассмотрении отдельных философских проблем математики они явно склоняются на позиции узкого эмпиризма. Позитивным у них является утверждение о существовании объективного аналога математических знаний: зиждется исключительно на объективных отношениях, пишет Л. Бюхнер, - без которых не были бы возможны также и математические законы; вот почему математику следует причислять к естественным, а не к философским и спекулятивным наукам. Но это утверждение сочетается с отрицанием объективного содержания математических понятий вне чувственно наглядных образов, с умалением роли абстрактных теоретических построений. "Понятия пространства, величины, протяжения, высоты, ширины, глубины получены лишь из чувственного опыта и не существовали бы без него. Таким образом, общий принцип всей математики добыт эмпирическим путем".