Дослідження функцій гіпергеометричного рівняння (стр. 13 из 13)

m=1,2,...

рекурентні співвідношення:

G-

G( +1)-G( -1)=0, (5.13)

(

- )G+G( -1) -zG( +1)=0, (5.14)

(

-1+z)G - G( -1)+( - +1)G( -1)=0, (5.15)

(

+z)G+ ( - -1)G( +1)-zG( +1)=0, (5.16)

G(

-1)+(2 - +z)G + ( - +1)G( +1)=0, (5.17)

(

- -1)G( -1)- ( -1+z)G + zG( +1)=0, (5.18)

G

G( , ,z), G( 1) G( 1, ,z), G( 1) G( , 1,z)

і так далі.

Справедливість цих формул випливає з визначення функції G і відповідних властивостей функції F.

5. Подання різних функцій через вироджені гіпергеометричні функції

Як ми вже відзначали, багато елементарних і спеціальних функцій, що зустрічаються в аналізі, можуть бути вироджені через функцію F(

, ,z).

Ми маємо, наприклад,

1) F(

, ,z)= =

тому що

F(1,2,z)=

= ,

тому що

3) F(-2,1,z)=

Висновок

Курсова робота присвячена дослідженню гіпергеометричних функцій. Можна зробити висновок:

Гіпергеометричні функції застосовуються в різних розділах математичного аналізу, зокрема, при рішенні диференціальних рівнянь і при розгляді інших спеціальних функцій.

За допомогою гіпергеометричних функцій виражаються не тільки сферичні, еліптичні, але й ряд інших, у тому числі й елементарні функції.

У роботі розглянуті визначення гіпергеометричного ряду й гіпергеометричної функції, доведені деякі елементарні властивості гіпергеометричної функції, функціональні й спеціальні функціональні співвідношення, подання різних функцій через гіпергеометричну, вироджену функція 1 і 2 роди, диференціальне рівняння для виродженої гіпергеометричної функції і його інтеграли, подання різних функцій через вироджені гіпергеометричні функції.

Література

1. Балк М.Б. Математичний аналіз: теорія аналітичних функцій. – К., 2000

2. Гурвиц А.І., Теорія функцій. – К., 2004

3. Евграфов М.О. Аналітичні функції. – К., 2003

4. Лебедєв І.І. Спеціальні функції і їхні додатки. – К., 2000

5. Маркушевич. М.М. Введення в теорію аналітичних функцій. – К., 1999

6. Смирнов В.И. Курс вищої математики тім 3,4. – К., 2005

7. Уиттекер І, Ватсон У. Курс сучасного аналізу тім 1,2. – К., 2000

8. Фихтенгольд К. Курс диференціального й інтегрального вирахування. – К., 2004

9. Фильчаков М. Довідник по вищій математиці. – К., 2000