Дослідження функцій гіпергеометричного рівняння (стр. 2 из 13)

що показує, збіжність інтеграла буде при R(

)>R( ) >0 інтеграл

сходиться

Таким чином, умова

<1 в (1.4) може бути відкинуто, і шукане аналітичне продовження гіпергеометричної функції в розрізану площину дається формулою

F(

, , ,z)= (1.5)

R(

)>R( ) >0;

У загальному випадку, коли параметри мають довільні значення, аналітичне продовження F(

, , ,z) площина з розміром (1, ) може бути отримане у формі контурного інтеграла, до якого приводить підсумовування ряду (1.1) за допомогою теорії відрахувань.

Більше елементарний метод продовження, що не дає, однак, можливість одержати в явній формі загальне аналітичне вираження гіпергеометричної функції, полягає у використанні рекурентного співвідношення (1.6)

F( , , ,z) = +

справедливість якого може бути встановлена підстановкою в нього ряду (1.1). Після підстановки й приведення подібних членів коефіцієнт при z^k у правій частині (1.6) буде

+ - = = { - - }= = (

Шляхом повторного застосування цієї тотожності можна представити функцію F(

, , ,z) з довільними параметрами ( 0,-1,-2,…)у вигляді суми

F(

, , ,z)= F( +s, +p, +2p, z) (1.7)

де р – ціле позитивне число

( , , ,z) – поліном відносно z. Якщо вибрати число р досить більшим, так, щоб R( )>-p і R( - )>-p, то аналітичне продовження кожної з функцій F( +s, +p, +2p, z) може бути виконане по формулі (1.5). Підставляючи отримані вираження в (1.7) одержимо функцію, регулярну в площині з розрізом (1, ), що при <1 збігається із сумою гіпергеометричного ряду (1.1) і, отже, є шуканим аналітичним продовженням.

Гіпергеометрична функція F(

, , ,z) відіграє важливу роль в аналізі і його додатках. Введення цієї функції дає можливість одержати рішення багатьох цікавих проблем теоретичного й прикладного характеру, до яких, зокрема, ставиться задача конформного відображення трикутника, обмеженого пересічними прямими або дугами окружностей, різні задачі квантової механіки й так далі.

Велика кількість спеціальних функцій може бути виражене через функцію F(

, , ,z), що дозволяє розглядати теорію цих функцій як відповідні спеціальні випадки загальної теорії, даної в справжньому пункті.

1.2 Елементарні властивості гіпергеометричної функції

У справжньому розділі ми розглянемо деякі властивості гіпергеометричної функції, які безпосередньо випливають із її визначення за допомогою ряду (1.1).

1. Беручи до уваги, що члени ряду не змінюються при перестановці параметрів

і маємо співвідношення симетрії

F(

, , ,z)= F( , , ,z), (2.1)

2. Диференціюючи розглянутий ряд по членне, знаходимо

F( , , ,z)= = =

=

= F( +1, +1, +1,z)

Таким чином,

F( , , ,z)= F( +1, +1, +1,z) (2.2)