Дослідження функцій гіпергеометричного рівняння (стр. 3 из 13)

3. Повторне застосування цієї формули приводить до рівностей

F( , , ,z)= F( +m, +m, +m,z) (2.3)

m=1,2,...

Покладемо надалі для скорочення запису

F(

, , ,z)= F,

F(

1, , ,z)= F( 1),

F(

, 1, ,z)= F( 1),

F(

, , 1,z)= F( 1).

Функції F(

1), F( 1), F( 1) називаються суміжними з F.

4. Ми покажемо, що F і будь-які дві суміжні функції зв'язані між собою рекурентним співвідношенням з коефіцієнтами, що є лінійними функціями змінного z. Як основні співвідношення цього типу можуть бути обрані рівності (2.4), (2.5), (2.6) відповідно.

(

- - )F+ (1-z)F( +1)-( - )F( -1)=0,

(

- -1)F+ F( +1)-( - 1)F( -1)=0,

(1-z)F- F( -1)+( - )F( +1)=0.

Підставляючи ряд (1.1) в (2.4) маємо (2.4)

(

- - )F+ (1-z)F( +1)-( - )F( -1)=

=(

- - ) + (1-z) -( -

) =

=

{( - - ) + -( - ) -

}z^k=

=

{( - - )( +k-1)+( +k)( +k-1)-( - )( -1)

(

-k-1)k} z^k=0,

тому що

z

=

=

= ( +1)...( +k-1)

=( +1)...( +k-1)( +k)

=( -1) ( +1)...( +k-2)