В таблице 1 рассматриваем случайные события, представляющие подпространства пространства равновозможных элементарных событий (несколько событий называются равновозможными, если нет основания считать, что одно из этих событий является объективно более возможным, чем другое) определяемых испытанием с игральной костью
Таблица 1.
| Обозначениесобытия | Содержание события | Кол-во элементарных событий благоприятсвующих данному событию |
| А | Выпало четное число очков | 3 |
| В | Выпало меньше трех очков | 2 |
| С | Выпало менее пяти очков | 4 |
| Д | Выпало не более пяти очков | 5 |
| G | Выпало не менее трех очков | 4 |
| U | Выпало более шести очков | 0 |
| И | Выпало не более шести очков | 6 |
Эта таблица показывает неодинаковые возможности появления этих событий при одном испытании: более возможно то событие, которому благоприятствует большее число равновозможных элементарных событий данного пространства. Эти числа и могли бы быть численной мерой возможностей появления различных событий, связанных с данным испытанием.
А как сравнить возможности появления событий А1 и В1, которые связанны с различными пространствами элементарных событий?
Пусть в одном ящике 10 черных шаров пронумерованных четными числами 2,4,….18, 20, а в другом 8 белых шаров, пронумерованных числами 1,3,5,7,9,11,13,15. Наугад вынимаем из ящика по одному шару. Пусть А1-"номер черного шара, кратный 3", событие В1-"номер белого шара не больше 5".
Какое из этих событий более возможно?
Событию А1 благоприятствует 3равновозможных события (6,12,18), событию В1 тоже 3 (1,3,5). Может быть А1 и Б1 равновозможные события? Ответить на заданный вопрос можно, только зная количество всех равновозможных элементарных событий пространства, связанного с выниманием белого шара.
Полная информация об этих событиях может быть представлена в форме таблицы 2.:
Таблица 2.
| Событие | Содержание события | Число элементарных событий всего пространства | Число элементарных событий благоприятствующих данному событию | отношение |
| А1 | Появление числа кратного 3На черном шаре | 10 | 3 | 0,30 |
| В1 | Появление числа не большего 5, на белом шаре | 8 | 3 | 0,37 |
Приходим к выводам:
А) событие В1 более возможное, чем событие А1;
Б) возможность появления некоторого события n удобно измерять отношением m/n, где n - число всех равновозможных элементарных событий вытекающих из условий данного испытания, а m-число равновозможных событий, которые благоприятствуют событию Н.
Эту удобную меру возможности появления события Н принято называть вероятностью этого события и обозначать символом Р(Н) =m/n.
Определение 1. вероятностью случайного события Называется отношение числа равновозможных элементарных событий, благоприятствующих этому событию, к числу всех равновозможных элементарных событий пространства Е, определяемого данным испытанием.
Это классическое определение вероятности случайного события.
Р=(И) =n/n=1, т. к. число возможных исходов испытания равно числу исходов, благоприятствующих появлению события.
Р=(_) =o/n=o, т. к. число исходов испытания, благоприятствующих появлению невозможного события, равно 0.
При классическом подходе определения понятия вероятности сводится к более простому понятию – равно возможности элементарных событий. А это понятие основного на интуитивном воображении человеком тех условий испытания, которые вроде достоверно определяют эту равно возможность. Но не каждое испытание поддается такому воображению. Например, не может быть речи о равновозможных исходах испытания, состоящего в подбрасывании неправильной игральной кости, центр тяжести которой сознательно смещен с геометрического центра.
Какова вероятность выпадения шестерки, при подбрасывании такой кости?
Как известно вероятность выпадения шестерки при подбрасывании правильной игральной кости, равна 1ч6.
Допустим, провели n бросаний такой кости и определили, что шестерка выпала m раз. Отношение mчn назовем статистической частотой появления шестерки. При проведении серии таких испытаний, может случится, что
при подбрасывании кости n раз шестерка выпала m1раз; статистическая частота Р1=m1чn;
при подбрасывании кости n+1раз шестерка выпала m2раз: статистическая частота Р2=m2чn+1;
при подбрасывании кости Nраз шестерка выпала mN раз: статистическая частота РN=mNчN.
Заметим, что для статистических частот р1,р2,р3,…. рN будет характерна устойчивость: они будут с возрастанием числа испытаний сколь угодно близко сосредотачиваться около вероятности Р=1ч6.
Подбрасывая неправильную кость и определяя статистические частоты появления, например, шестерки, заметил такую же устойчивость этих частот, но эти частоты с возрастанием числа испытаний устойчиво будут сосредотачиваться около некоторого, в результате неправильности игральной кости нам неизвестно числа Р. Это неизвестное число в отношении статистических частот появления шестерки при подбрасывании неправильной игральной кости выступает как бы в роли 1ч6 в отношении статистических частот появления шестерки при подбрасывании правильной игральной кости. Будем считать это неизвестное число Р вероятностью выпадшей шестерки при бросании неправильной игральной кости. Для каждой неправильной игральной кости это Р будет разное.
Пусть m1чn; m2чn+1;... .; mNчN – статистическая частота наступления события А в некоторой серии испытаний, каждое из которых проводится в одинаковых условиях (например, подбрасывается одна и та же игральная кость с одинаковой высоты)
Определение 2. вероятностью события А называется то неизвестное число Р, около которого сосредотачиваются значения статистических частот наступления события А при возрастании числа испытаний.
Это – статистическое определение вероятности случайного события.
Пусть на плоскости задан круг и нем треугольник В. В круг на удачу "бросается точка". Как определить вероятность события Н, состоящего в том, что точка попадает в треугольник?
При решении этой задачи будем пользоваться следующем исходным положением: вероятность попасть в какую-либо часть круга пропорционально площади этой части.
Если площадь круга составляет n единиц площади, а площадь треугольника m единиц площади, то в силу пропорциональности Р(А) =mk единиц площади чnk единиц площади = mчn.
На конкретном примере можно увидеть, что геометрический подход к вероятности события не зависит от вида измерений геометрического пространства: важно только, чтобы пространство элементарных событий Е и пространство представляющее событие А, были одинакового вида и одинаковых измерений.
Пример
Пусть на плоскости задан круг и определен его сектор ВОС (рис11), <ВОС=α. Рассмотрим вероятности трех событий А1, А2, А3, состоящих в следующем: в круг на удачу бросается точка М. А1-"попадание М1 в сектор ВОС". На дугу окружности наугад бросается точка N. А2-"попадание N на дугу ВОС". На рисунок на удачу бросается вектор OS, начало которого закреплено в точке О.
А3-"попадание OS в угол α"
Пусть ОС=r - радиус круга. Тогдa:
Тот факт, что Р(А1) =Р(А2) =Р(А3), подтверждает вышеизложенное суждение и позволяет обобщить формулу (х):
если событие А состоит в попадании точки М на отрезок [α; β] при ее бросании наугад на отрезок [а; в] (рис.12), то
Р(А) = β - αчв-а;
если позиция А состоит в попадании вектором ОМ в угол α при бросании наугад, когда начало вектора закреплено в точке О (рис13), то Р(А) = αч2π (в радианах) = α ч360°(в градусах);
если событие А состоит в попадании точки М в пространство Т при бросании ее наугад в пространство S, то Р(А) =VтчVs
Геометрическая интерпретация вероятности события является важным средством подхода к расчету вероятностей сложных событий.
Определение 3. вероятностью случайного события А называется численная мера возможности наступления этого события при некотором испытании.
Пусть Ω - произвольное пространство элементарных событий, а И – некоторый класс подмножеств множества Ω.
Класс подмножеств И называется алгеброй событий, если Ω в И и если А; ВЄИ, А+ВЄИ, А/ВЄИ при любом АЄИ, ВЄИ. Отсюда следует, что ǿ= Ω\ ΩЄИ. Наименьшей системой подмножеств, является алгеброй, очевидно являясь системой И={d, Ω }. Нетрудно проверить следующие утверждение. Если И – система всех подмножеств множества Ω, то и алгебра, если Ω-конечное множество, то система всех подмножеств будет так же конечным числом.
Пример.
Подбрасывание игральной кости один раз. В этом опыте Ω={W1,W2...,W6}, где Wк обозначен исход опыта, заключающийся в выпадении k очков. Имеем шесть исключающих друг друга исходов. Выпишем все события алгебры И, состоящих из всех подмножеств Ω:
{W1},{W2},... . {W6};
{W1,W2},{W1,W3},... . {W5,W6},{W1,W2,W3},... . .;
{W1,W2,W3,W4,W5,W6}= Ω
В этом примере алгебра и состоит из 2=64 событий. Если множества Ω состоит из N элементов, то число всех подмножеств равно 2N. Действительно, число последовательностей из 0 и 1 длины N равно 2N, а между такими последовательностями и подмножествами Ω можно установить взаимнооднозначное соответствие по следующему правилу: элемент с номером i из множества Ω включается в подмножество, соответствующее данной последовательности стоит 1.
Определение 4. числовая функция Р, определенная на классе событий И, называется вероятностью, если выполнимы следующие условия:
А1. не является алгеброй событий;
А2. Р(А) ≥0 для любого а АЄИ.