Теория вероятностей на уроках математики (стр. 8 из 10)
Задача 3. Бросают две монеты. Чему равна вероятность появления хотя бы одного герба?
Решая эту задачу по известной схеме учащиеся приходят к выводу, что формула Р(АUB) =P(A) +P(B) не применима, т. к. события в этом испытании совместны.
Для решения сложившийся ситуации учителю рекомендуется предложить учащимся избрать другой путь решения, а именно:
1) обозначить событие с-"выпадение герба не состоялось"
2) найти вероятность этого события Р(С) =i
3) CUC-достоверное событие
4) Р(И) +Р(CUC) =P(C) +P(C) =1-по теореме 1.
5) Р(С) =1-Р(С) =1-1\4=3\4.
Таким образом, учащиеся с помощью учителя устанавливают связь между вероятностями противоположных событий: сумма вероятности двух противоположных событий равна единице.
Доказательство в общем виде учащимся предлагается выполнить самостоятельно, использовать для этого решение задачи.
С целью формирования умения решать задачи с помощью доказанной формулы предлагается решить задачу.
Задача 4. стрелок трижды стреляет по мишени. Вероятность попадания первого выстрела равна 0,4; второго 0,5; третьего 0,7. Какова вероятность того, что произошло хотя бы одно попадание.
Изучение теории о вероятности объединения совместных событий целесообразно провести следующим образом.
Пусть m-число равновозможных элементарных событий, благоприятствующие событию В. Среди m+k событий содержится в таких, которые благоприятствуют и событию А, и событию В. Если n-общее число равновозможных элементарных событий, то учащиеся без труда по классическому определению вероятности найдут:
Р(А) =m\n, P(B) =k\n, P(A∩B) =L\n.
Ученикам необходимо пояснить, что запись AUB означает: "произойдет или событие А, или событие В, или и то и другое вместе" и что такому событию благоприятствуют (m+k-L) поэтому P(AUB) =m+k-L\n=m\n+k\n-L\n Подставляя значения получим:
P(AUB) =P(A) +P(B) - P(A∩B)
Школьники должны понять, что эта формула представляет собой обобщение формулы Р(AUB) =P(A) +P(B)
Зафиксировав доказательство теоремы в тетрадь целесообразно дать геометрическую интерпретацию полученной формулы.
 |
Р(AUB) =
Где m,k,L,n - величины площадей изображенных фигур.
Вернемся к задаче 3 и решим ее, пользуясь теоремой о вероятности объединения совместных событий.
Будем продолжать работать по алгоритму.
| Алгоритм | Конкретное соответствие задания заданному алгоритму |
| Ввести обозначения для заданных величин | А-появление герба при подбрасывании монеты; |
| В-появление герба при подбрасывании второй монеты. Найти С=AUB | |
| Подобрать формулу | Т. к. АиВ - совместные события, то Р(С) =Р(AUB) =P(A) +P(B) - P(A ∩B) P(A) =1\2,P(B) =1\2,P(A∩B) =1\4P(C) =1\2+1\2-1\4=3\4 |
| Ответ | 3\4 |
Для того, чтобы показать, что доказанная теорема справедлива не только для двух совместных событий можно предложить следующие задание.
Задача 5. А, В, С-совместные события. Доказать Р(АUBUC) =P(A) - P(B) - P(C) - P(A∩B) - P(A∩C) - P(B∩C) +P(A∩B∩C)
Это задание способствует формированию умений учащихся доказывать вероятностные формулы.
Предлагаем систему задач, основной функцией которой является иллюстрация и закрепление положений теорий (теория о сумме вероятностей совместных событий).
I. (на применении теоремы о вероятности суммы не совместных событий).
1. в урне 30шаров: 10красных, 5синих, 15белых. найти вероятность появления цветного шара.
2. Стрелок стрелял по мишени, разделенной на три области. Вероятность попадания в первую область равна 0,45, во вторую 0,25. найти вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадет либо в первую, либо во вторую.
3. Консультационный пункт института получает пакеты С контрольными работами из городов А, В, С. Вероятность получения пакета из города А 0,7; из города В 0,2. найти вероятность того, сто очередной пакет будет получен из города С.
II. (на применение теоремы о вероятности противоположного события)
1. вероятность того, что день будет дождливый р равна 0,7. найти вероятность того, что день будет ясным.
2. в денежно-вещевой лотереи на каждые 10 000 билетов разыгрываются 150вещевых и 50денежных выигрышей. Чему равна вероятность выигрыша, безразлично денежного или вещевого, для владельца одного лотерейного билета?
3. берется на удачу трехзначное натуральное число от 100 до 999. какова вероятность того, что хотя бы две его цифры совпадают?
III. (на применение теоремы о вероятности суммы событий, которые могут быть совместными)
1. вероятность попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны: р1=0,7; р2=0,8. Найти вероятность попадания при одном залпе (из обеих орудий) двух орудий.
2. подбрасываются две монеты. Какова вероятность выпадения хотя бы одного герба?
После изучения теорем о вероятности суммы событий учащиеся должны уметь: вычислять вероятность случайного события, используя правила вычисления вероятностей одних событий по известным вероятностям других событий, с ним связанных.
Для этого удобно пользоваться алгоритмом, который ученикам рекомендуется зафиксировать в тетрадь:
1. ввести обозначение для всех количеств. Присвоить имена событиям, участвующим в задании. Те вероятности, которые указаны в задаче явно, сразу выписать (если доля задана в процентах – заданные проценты поделить на 100).
2. те вероятности, которые заданы не в явном виде сосчитать и выписать.
Указание к шагу.
Считать вероятности по следующим правилам.
А) если задано общее число исходов n и число благоприятных событию А исходов m (или их можно сосчитать), то Р(А) =m\n;
Б) если все возможные исходы можно изобразить с помощью геометрической фигуры (отрезок, круг, полоса - полное пространство событий Ω), то нарисовать ее, а внутри нее нарисовать фигуру, соответствующую исходам, благоприятным событию А, вычислить площади фигур А и Ω, сосчитать отношение этих фигур P(А) =S(A) \S(Ω);
В) если по заданным в задаче вероятностям надо сосчитать вероятность еще одного события (С), то надо выписывать формулу связи этого события с теми событиями, вероятность которых известны. (А, В,…). После этого воспользоваться формулами: С=А=>Р(С) =1-Р(А);
С=А+В=>Р(С) =Р(А) +Р(В) - Р(А*В).
Для закрепления этого алгоритма в системе задач, следует предусмотреть задачи, связанные с геометрическим определением вероятности. Примером такой задачи может быть следующая.
Задача 6. в квадрате находится другой квадрат, сторона которого вдвое меньше. Найти вероятность того, что точка брошенная в квадрат так, что любое ее положение в квадрате – равновозможное, окажется внутри второго квадрата.
 |
Согласно алгоритму, учащийся должен выполнить рисунок и заполнить таблицу, подобрав к алгоритму конкретное содержание.
А
| Алгоритм | Конкретное соответствие задания заданному алгоритму |
| Ввести обозначения для заданных величин | а-длинна стороны квадрата; |
| а/2-длина стороны второго квадрата; | |
| S(Ω) - площадь квадрата; | |
| S(A) - площадь внутреннего квадрата; | |
| А-точка попала во внутренний квадрат; S(Ω) =а І, S(A) =aІ\4, найти Р(А) ? | |
| Подобрать формулу | Р(А) =S(A) \ S(Ω) = aІ\4\ aІ=1\4=0.25 |
| Ответ | 0,25 |
На контрольно-коррекционном этапе изучения теорем о вероятности суммы независимых событий считаем возможным предложить самостоятельную работу, с целью проверки умения учащихся применять изученные формулы в конкретных ситуациях, атак же для выявления пробелов в знаниях.
Перед самостоятельной работой целесообразно провести устную работу с целью повторения правила сложения вероятностей событий и основных формул.
Обсуждение следует сориентировать:
· на выяснение правила сложения вероятности несовместных событий;
· на определение несовместных событий, с приведением учениками достаточного числа примеров;
· на выяснение обобщенного правила сложения вероятностей;
· на выяснение символической записи правила сложения вероятностей 2,3-несовместных (совместных) событий;
· на выяснение формулы выражающей связь между вероятностями противоположных событий;
Содержание самостоятельной работы может быть следующим:
· на военных учениях летчик получил задание "уничтожить" 3рядом расположенных склада боеприпасов противника. На борту самолета одна бомба. Вероятность попадания в первый склад примерно равна 0,01, во второй 0,008, в третий 0,025.
Любое попадание в результате детонации вызывает взрыв и остальных складов. Какова вероятность того, что склады противника будут уничтожены?
подбрасывается игральная кость. Чему равна вероятность того, что на гранях выпадет 4и6 очков.
найти вероятность того, что брошенная в квадрат точка окажется внутри вписанного в этот квадрат круга, если ее любое положение в квадрате является равновозможным.
бросают две монеты. Какова вероятность выпадения хотя бы одной цифры.
Цель задания 3: выявить способности учащихся решать задачи, в которых события описываются с помощью геометрических фигур.
Цель задания 4: выявление пробелов в знании формулы сложения двух несовместных событий.
П.4. Условная вероятность. Формула умножения
Изучению формулы умножения следует предварить беседу о зависимости одного события от другого, и об условной вероятности. Это можно осуществить на опыте: из ящика в котором 5белых и 3черных шара, наугад вынимают последовательно один за другим два шара. Какова вероятность вынуть второй шар белый?