Теория вероятностей на уроках математики (стр. 9 из 10)

Проводя опыт, учащиеся сталкиваются с двумя ситуациями: когда вероятность вынуть второй шар белый зависит от того, вынут в первый раз шар белый или черный.

Следует пояснить учащимся, что в таком случае будем говорить, что одно событие зависит от другого, а вероятность появления зависимого события условная.

Пусть событие В зависит от события А. Уловную вероятность появления события В, если событие А произошло, будем обозначать Р(В/А). и в дальнейшем встречаясь с такой записью, учащиеся без труда должны узнавать и понимать, что речь идет о вероятности события В, если произошло событие А.

При выведении формулы умножения вероятностей можно воспользоваться рисунком.

Событию А благоприятствуют m событий, событию В благоприятствуют k событий, событию А∩В благоприятствуют r событий.

Если событие А произошло, то событию В благоприятствуют r и только r событий Ai, благоприятствующих А∩В.

Р(В/А) =r\m=r\n ч m\n=P(A∩B) \P(A);

По аналогии формулу Р(А/В) учащиеся могут ввести самостоятельно

Р(А/В) =r\k=r\n ч k\n=P(A∩B) \P(B)

На основании этих формул делаем вывод: P(A∩B) =Р(В) *Р(А/В) =Р(А) *Р(В/А).

Учащимся следует обратить внимание на то, что выведенное правило умножения имеет место лишь в том случае, если имеют смысл события А/В и В/А. А они имеют смысл тогда, когда события А и В совместны.

На формирование умений у учащихся решать задачи с применением правила умножения вероятностей предлагается решить ряд задач.

1. из колоды в 32карты наугад одну за другой вынимают две карты. Найти вероятность того, что:

- вытянуты два валета;

- вытянуты две карты пиковой масти;

- вытянуты валет и дама;

2. в ящике 5 белых и 7 черных шаров. Последовательно вынимаем два шара. Какова вероятность того, что они оба белые?

3. имеется 3ящика, содержащих по 10 деталей. В первом ящике 8, во втором 7 и в третьем 9 стандартных деталей. Из каждого ящика наугад вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что все 3 вынутые детали окажутся стандартными.

§4. Описание опытной работы

В качестве основной цели опытно - экспериментальной работы была представлена апробация предложенных методических рекомендаций по изучению основных теоретико-вероятностных вопросов в школьном курсе математики в классах с углубленным изучением математике.

Достижение поставленной цели потребовало решения следующих задач:

- разработать содержание цикла уроков по теории вероятностей;

- проверить целесообразность разработанных методических рекомендаций.

Основная гипотеза опытной работы: включение элементов в теории вероятностей в математическую подготовку учащихся способствует общему повышению интеллектуального уровня учащихся и качества их математической подготовки.

При проведении опытной работы мы пользовались следующими методами:

- наблюдение за процессом усвоения знаний учащимися;

- беседы с учителем математики этого класса и учениками;

- проведение диагностической контрольной работы;

количественная и качественная обработка полученных данных.

Эксперимент был проведен в Татьяновской средней школе Благовещенского района Алтайского края в 11 классе.

В классе 20 учащихся. Из них 5 имеют высокий уровень подготовки, материал усваивается ими без пробелов в знаниях; трое имеют низкий уровень подготовки, усвоение материала или происходят с большими трудностями; остальные учащиеся занимаются хорошо.

Ребята легко вступают в контакт с педагогом, проявляют интерес к получению знаний, охотно помогают учителю в подготовке и проведении занятий.

Учащиеся занимаются на повышенном уровне обучения математике. Для хорошо подготовленных учащихся учитель предусматривает индивидуальные задания, а со слабыми, занимается дополнительно.

При обучении учащихся математике учитель использует методы проблемного обучения, эмпирические методы (наблюдение, опыт, измерение), метод сравнения и аналогии. Часто на уроках педагог организует самостоятельную работу и придерживается индивидуализации в обучении.

Было проведено семь уроков. Ниже представлены основные содержательные компоненты теоретического материала темы, изученные на уроках;

- виды событий (достоверные, невозможные, случайные);

- вероятностное пространство;

- классическое определение вероятности;

- определение события;

- вероятность события;

- теоремы о сумме и произведений вероятности событий.

Дидактический процесс был ориентирован на усвоение выделенных теоретических основ и на формирования навыка решения типовых задач, представленных в Гл II §2.

Проектирование процесса обучения осуществлялось в направлении реализации следующих методических положений:

- в начале изучения теории вероятностей рассмотрение основ теории, поиск решения задач целесообразно предварить постановкой опытов;

- формулировка определений основных теоретико-вероятностных понятий, формулы сложения и умножения вероятностей полезно, наряду с символической записью, представлять в виде наглядных схем;

- решение систем задач определенного типа важно обобщать выделением алгоритма. Дальнейшее решение задач проводится в рамках принятого алгоритма с определенной формой записи решения;

- предварительное решение специально подобранных задач способствует самостоятельному открытию учащимися теорем, их формулировок, выявлению способа доказательства теорем и проведению доказательства;

- целесообразно использование различных форм проведения учебных занятий: лекций, уроков-практикумов и других.

На первом уроке проведенном в форме беседы с учащимися, были выделены 3 класса событий: достоверные, невозможные, случайные. Ребята с интересом приняли участие в беседе: приводили примеры событий, классифицировали предложенные учителем события, выделяли их в группы. На этом же уроке были представлены заранее подготовленные сообщения учеников на темы: "теория вероятностей как наука", "применение теории вероятностей". Было введено понятие вероятностного пространства. С целью подготовки введения этого понятия был проведен опыт, описанный в Гл II. §3.

По окончанию опыта ребята сами выдвигали гипотезу о возможных множествах вероятностного пространства одного и того же испытания. Урок был интересен учащимся, так как работа была нетрадиционной; каждому ученику, была дана возможность лично убедится, в справедливости теоретических фактов.

На втором уроке было рассмотрено классическое определение вероятности события. Урок был проведен в форме лекции, содержание которой составил материал, представленный в Гл. I. §5.

На уроке был выявлен алгоритм решения задач по классическому определению вероятности. Очень продуктивной оказалась работа по геометрическому представлению формулы нахождения вероятности события по классическому определению, что помогло учащимся хорошо ее запомнить. Дальнейшее аналогичное интерпретирование теоретического материала позволяет учащимся систематизировать свои знания по теории вероятностей и успешно применять их при решении задач.

Третий урок был посвящен решению задач по классическому определению вероятности. Дидактический материал представлен в Гл II. § 3.

На четвертом и пятом уроках были изучены теоремы о сумме и произведении вероятности событий. При проведении этих уроков были использованы дидактические материалы, представленные в Гл II. § 3.

На шестом уроке рассматривались решения задач на применение теории суммы и произведения вероятностей событий, дидактический материал для которого представлен в Гл II. § 3.

На последнем седьмом уроке была проведена разработанная контрольная работа, представленная в приложении, с целью проверки качества знаний учащихся по теме "элементы теории вероятностей".

Задания первого и второго уровней были предложены с целью проверки знаний формул теорем о сумме и произведении вероятностей событий.

Задание третьего уровня преследует цель анализа знаний по классификации событий на достоверные, невозможные и случайные.

Задание четвертого уровня направлено на проверку умения решать задачи по классическому определению вероятности.

Большинство учащихся (57%) справилось с работой на "отлично", 32% - "на хорошо", остальные 11% - "на удовлетворительно".

Анализируя результаты работы учеников, можно сделать вывод, что большая часть учащихся усвоила основные теоретико-вероятностные вопросы и умеет решать задачи с применением классического определения вероятности.

Такие результаты возможно связанны с применением в процессе обучения разработанных методических рекомендаций.

Заключение

На основе проведенного анализа психолого-педагогической и методической литературы, а так же проведенной опытно-экспериментальной работой можно сделать выводы.

1. Основной целью изучения темы "элементы теории вероятностей" в классах с углубленным изучением математики как дедуктивной системе знаний; систематизация некоторых способов решения задач; создание условий для понимания основной идеи практической значимости теории вероятностей.

2. Анализ содержания темы элементы теории вероятностей различных учебных пособий, предназначенных для изучения в школе, позволяет в качестве основного предложить учебное пособие под редакцией Н.Я. Виленкина [5], материал в котором изложен на высокой ступени абстракции, дедуктивно; система задач, в котором полна.

3. При изучении теории вероятностей считаем целесообразным использование следующих методических рекомендаций: