Пусть требуется определить вероятность некоторого события А1, которое может произойти вместе с одним из событий: Н1, Н2…Hn, образующих полную группу несовместных событий. Будем эти события называть гипотезами. Докажем, что в этом случае P(A) = ∑P(Hi) P(A/Hi), (1)
Т.е. вероятность события А вычисляется как сумма произведений вероятности каждой гипотезы на вероятность события при этой гипотезе.
Формула (1) носит название формулы полной вероятности.
Доказательство. Т.к. гипотезы Н1, Н2,…Нn образуют полную группу, то событие А может появится только в колебании с какой-либо из этих гипотез.:
А=Н1А+Н2А+…+НnA.
Так как гипотезы Н1, Н2,… Нn, несовместны, то комбинации Н1, А1, Н2А,…НnA так же несовместны; применяя к ним теорему сложения, получим: Р(А) =Р(Н1А) +Р(Н2А) +…+Р(НnA) = ∑P(Hi) P(A/Hi), что и требовалось доказать.
Пример 1.
Имеются три одинаковые на вид урны; в первой урне 2 белых и 1 черный шар; во второй урне 3 белых и 1 черный шар; в третьей 2 белых и 2 черных шара.
Некто выбирает одну из урн наугад и вынимает из нее шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.
Решение:
Рассмотрим три гипотезы:
Н1-выбор первой урны
Н2-выбор второй урны
Н3-выбор третьей урны
Н1Н2Н3-полная группа несовместных событий.
Пусть событие А-появление белого шара. Т.к. гипотезы, по условию задачи равно возможны, то Р(Н1) =Р(Н2) =Р(Н3) =1\3
Условные вероятности события А при этих гипотезах соответственно равны: Р(А/Н1) =2\3; Р(А/Н2) =3\4; Р(А/Н3) =1/2.
По формуле полной вероятности
Р(А) =1\3*3\2+1\3*3\4+1\3*1\2=23\36
Ответ: 23\36
Следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности является так называемая теорема гипотез, или формула Бейса (Байеса).
Поставим следующею задачу.
Имеется полная группа несовместных гипотез Н1, Н2,. . Нn. вероятности этих гипотез до опытов известны и равны соответственно Р(Н1),Р(Н2) …,Р(Нn). Произведен опыт, в результате которого наблюдено появление некоторого события А. Спрашивается, как следует изменить вероятности гипотез, в связи с появлением этого события?
Здесь, по существу речь идет о том, чтобы найти условную вероятность Р(Н1/А) для каждой гипотезы.
Из теоремы умножения имеем:
Р(A*Нi) =P(A) P(Hi/A) =P(Hi) P(A/Hi), (i=1,2,3,... n) или, отбрасывая левую часть
P(A) P(Hi/A) =P(Hi) P(A/Hi),(i=1,2,. .,n)
Откуда P (Hi/A) =P(Hi) P(A/Hi) чP(A),(i=1,2,3,... . n)
Выражая с P(A) помощью полной вероятности, имеем
P(Hi/A) =P(Hi) P(A/Hi) ч∑P(Hi) P(A\Hi),(i=1,2,3,... . n) (2)
Формула (2) носит название формулы Бейса или теоремы гипотез
Пример 2. на фабрике 30%продукции производится машиной I, 25% продукции - машиной II, остальная часть продукции – машиной III. У машины I в брак идет 1% сей производимой его продукции, у машины II-1.5%, у машины III-2% наугад выбранная единица продукции оказалась браком. Какова вероятность того, что она произведена машиной I?
Решение.
Введем обозначения для событий.
А-выбранное изделие оказалось браком
Н1-изделие произведено машиной I
H2 - изделие произведено машиной II
H3 - изделие произведено машиной III
P(H1) =0,30; Р(Н2) =0,25; Р(Н3) =0,45
Р(А/Н1) =0,01,
Р(А/Н2) =0,015
Р(А/Н3) =0,02
Р(А) =0,01*0,30+0,015*0,25+0,02*0,45=0,015,
Р(Н1/А) = 0,01*0,30ч0,015=0, 20
Ответ: 20%всех бракованных изделий выпускается машиной I.
Закон больших чисел
Пусть А случайное событие по отношению к некоторому опыту σ. Будем интересоваться лишь тем, наступило или не наступило в результате опыта событие А, поэтому примем следующую точку зрения: пространство элементарных событий, связанное с опытом σ, состоит только из двух элементов - А и А. Обозначим вероятности этих элементов соответственно, через p и q, (p+q=1).
Допустим теперь, что опыт σ в неизменных условиях повторяется определенное число раз, например, 3 раза. Условимся троекратное осуществление σ рассматривать как некий новый опыт η. Если по прежнему интересоваться только наступлением или не наступлением А., то следует очевидно принять, что пространство элементарных событий, отвечающее опыту η, состоит из всевозможных последовательностей длины 3: (А, А, А), (А, А, А), (А, А, А), (А, А, А), (А, А, А), (А, А, А), (А, А, А), (А, А, А), которое можно составить из А и А.
Каждая из указанных последовательностей означает ту или иную последовательность появления или не появления событий А в трех опытах σ, например, последовательность (А, А, А), означает, что в первом опыте наступило А, а во втором и третьем - А. Определим, какие вероятности следует приписать каждой из последовательностей (1)
Условие, что все три раза опыт σ проводится в неизменных условиях, по смыслу должно означать следующие - исход каждого из трех опытов не зависит от того, какие исходы имели место в остальных двух опытах. Т.е. любая комбинация исходов трех опытов представляет собой тройку независимых событий. В таком случае, элементарному событию (А, А, А), естественно приписать вероятность, равную p*q*q, событию (А, А, А),-вероятность q*y*y и т.д.
Т. о. приходим к следующему описанию вероятностной модели для опыта η (т.е. для трехкратного осуществления опыта σ). Пространство Ω элементарных событий есть множество из 2 в 3степени последовательностей. (1). Каждой последовательности сопоставляется в качестве вероятности число р в степени k, q в степени e, где показатели степеней определяют, сколько раз символы А и А входят в выражение для данной последовательности.
Вероятностные модели такого рода называются схемами Бернулли. В общем случае схема Бернулли определяется значением чисел n и p, где n – число повторений исходного опыта σ (в предыдущем опыте мы считали n=3), а p-вероятность события А по отношению к опыту σ.
Теорема 1. пусть вероятность события А равна p, и пусть Pmn-вероятность того, что в серии из n независимых испытаний это событие произойдет m-раз.
Тогда справедлива формула Бернулли.
Pmn=Cn в степени m *P в степени m *q в степени n-m [20, стр58]
Пример 1.
Монета подбрасывается 10 раз. Какова вероятность того, что герб выпадет при этом ровно 3раза?
Решение:
В данном случае успехом считается выпадение герба, вероятность pэтого события в каждом опыте равна 1\2.
Отсюда: Р10,3=С10в 3степени*(1\2) в 3степени*(1\2) в 7степени=10*9*8ч1*2*3*(1ч2в 10степени) =15\128
Ответ: 15\128
При большом числе испытаний относительная частота появления события мало отличается от вероятности этого события. Математическую формулировку этого качественного это качественного утверждения дает принадлежащий Бернулли закон больших чисел, который уточнил Чебышев.
Теорема 2. Пусть вероятность события А в испытании p равна p, и пусть проводятся серии состоящие из n независимых повторений этого испытания.
Через m обозначим число испытаний, в которых происходило событие А. тогда для любого положительного числа α выполняется неравенство:
З(|m\n-p|> α) <pqч2во 2степени n(3) [20, стр. 148]
Смысл этого неравенства состоит в том, что выражение mчn равно относительной частоте события А в серии опытов, а |m\n-p|> α означает, что отклонение этой относительной от теоретического значения p. Неравенство |m\n-p|> α означает, что отклонение оказалось больше чем α. Но при постоянном значении α с ростом n правая часть неравенства (3) стремится к нулю. Иными словами, серии в которых отклонение экспериментальной частоты от теоретической велико, составляют малую долю всех возможных серий испытаний.
Из теоремы вытекает утверждение, полученное Бернулли: в условиях теоремы при любом значении α>0 имеем
P(|m\n-p|) > α) =0.
Математические школы и классы с углубленным изучением математики были созданы в нашей стране в начале 60-х годов, когда выяснялась необходимость в подготовке специалистов, умеющих использовать прикладные возможности математики: программистов, инженеров-конструкторов, физиков, экономистов и других.
В настоящее время в математических школах и класса с углубленным изучением математики обучение ведется по программам разработанным коллективом ученых и преподавателей ВУЗов.
При сравнении программ массовой и математической школы можно отметить, что алгебраический материал, изучаемый в математических классах, включает темы, отсутствующие в программе массовой школы. Среди них теория вероятностей.
Содержание обучения теме "элементы теории вероятностей", выделены в "программе для общеобразовательных учреждений. Математика" [18] обеспечивает дальнейшее развитие у учащихся их математических способностей, ориентации на профессии, существенным образом связанных с математикой, подготовку к обучению в ВУЗе. Специфика математического содержания рассматриваемой темы позволяет конкретизировать выделенную основную задачу углубленного изучения математики следующим образом.
1. продолжить раскрытие содержания математики, как дедуктивной системы знаний.
А) построить систему определений основных понятий;
Б) выявить дополнительные свойства введенных понятий;
В) установить связи введенных и ранее изученных понятий.
2. Систематизировать некоторые вероятностные способы решения задач; раскрыть операционный состав поиска решений задач определенных типов.
3. Создать условия для понимания и осознания учащимися основной идеи практической значимости теории вероятностей путем анализа основных теоретических фактов. Раскрыть практические приложения изучаемой в данной теме теории.
Достижению поставленных образовательных целей будет способствовать решение следующих задач:
1. Сформировать представление о различных способах определения вероятности события (статистическое, классическое, геометрическое, аксиоматическое)
2. Сформировать знание основных операций над событиями и умения применять их для описания одних событий через другие.