Численное решение краевых задач для двумерного уравнения колебания (стр. 9 из 10)
Требуется найти функцию u(x1,x2,t), удовлетворяющую следующим условиям:
, 0 < xα < lα , α = 1,2 (1) 
,x = (x1 , x2 )
u(x,0) = u0(x) , ut(x,0) = u1(x) ,
(2)u(0, x2,t) = μ1- , u(l1, x2,t) = μ1+ (3)
u( x1 
,0,t) = μ2- , u(x1, l2,t) = μ2+
4.2. Параллельный переход на дифференциальном уровне.
Задачи (1) - (3) расщепляем на две автономные задачи по направлениям осей координат.
(8) 
(9)Решение задачи определяется в виде
4.3. Параллельный переход на разностном уровне
(или 0) (10) 
(или 
) (11) 
Схема (10) решается методом правой прогонки по направлению
. Схема (11) решается методом правой прогонки по направлению 
. Схемы (10) и (11) свести к стандартному виду (*) и решить методом правой прогонки (**). 
, 
, 
, Т=1. 
x2l1x2 
 |
 |
Схема(10) Схема(11) 
l10 x1 0 x1
4.4. Погрешность аппроксимации.
Погрешность аппроксимации понимаем в суммарном смысле, т.е. экономичные схемы (6) – (7) и (10) – (11) аддитивные. Покажем погрешность аппроксимации схемы (6) – (7). Для этого введем функции погрешности решения
, 
, 
, 
(12)Подставляем (12) в (6) и (7), имеем
где
.Тогда
, 
Отсюда
, 
Покажем погрешность аппроксимации схемы (10) – (11). Для этого подставим (12) в (10) и (11), имеем
где
, 
Отсюда
, . Устойчивость схемы (6) – (7) вычисляется по схемам (6) и (7) по отдельности устойчивы. Действительно, решение схемы (6) ищем в виде
(14)Подставим (14) в (6), имеем при
, 
. Отсюда 
. Для устойчивости схемы должно выполнятся условие 
(Корни квадратного уравнения 
. Если 
). Отсюда 
условие выполняется при любом 
. Схема (вычислительный алгоритм) абсолютно устойчив.Аналогично покажем устойчивость схемы (7).
Решение схемы ищем в виде
.Подставим (15) в (7), имеем
.Отсюда
Схема (алгоритм) абсолютно устойчива. Устойчивость схем (10), (11) показываются аналогично (решаем обратное однородное уравнение, т.е.
).