Контрольные задания для заочников по математике (стр. 2 из 7)
x ®µx®¥
г) lim (e2x – 3ex + 2) /x.
x ® 0
__________ ______
104. а) lim (Öx2 + x + 1 - Öx2 - x); б) lim (1 – cos2x) /(x sinx);
x ®µ x ® 0
в) lim((2x2+3x+4) /(2x2+x+1)) –x/2; г) lim [ln(1 + 3lnx) / ln(1 + 4lnx)].
x ®µ x ®1
105. а) lim (3x5 + 2x2 + 1) /(1 + 4x3 – x5); б) lim x – 2sin2(x2 + 2x);
x®µx ® 0
в) lim
; г) lim (esinx – ex) /x.x ® 0 x ® 0
_______________
106. а) lim (Öx2 + 4x - Öx2 + 6x + 1); б) lim (cos 5x) /(sin 2x);
x ®µ x ®p/2
в) lim ((x2 + 7x + 8) /(x2 + 14x + 1)) – x/3; г) lim (e – ecosx ) /x.
x ®µ x ® 0
_____
107. а) lim (x2 - 5x + 6) /(x3 - 8x + 8); б) lim (1 - Ö1 – x) – 1 sinx;
x ® 2 x ® 0
_____
в) lim (x + Ö1 + x) 3/x; г) lim x – 1 ln(cosx + sinx).
x® 0 x® 0
108. а) lim (3x4 – 2x2 + 1) /(2x4 + 3x2 – 2);
x ®µ
б) lim (sinx – sin3x) /(sin6x – sin7x);
x ® 0
в) lim
; г) lim (ln cosx) /(cos3x – cosx).x ® 0x ® 0
109. а) lim
; б) lim (cos8x – cos2x) /(cos6x – cos4x);x®5/2x® 0
______
в) lim (9 –2x) 1/(4 – x); г) limln(x + Öx2 + 1) /x.
x ® 4x ® 0
____________
110. а) lim (x - Öx + 2) /(Ö4x + 1 - 3); б) lim (sin2x– sinx) /(cos4x – cos2x);
x® 2 x® 0
в) lim ((2x+ 1) /(3x +1)) 1/x; г) lim(ln(3 – 2tgx)) /cos2x.
x®0 x®p/4
111. -120. Исследовать на непрерывность функцию y = f(x), найти точки разрыва и определить их род. Построить схематический график функции.
111.
112. 
113. 
114.
115. 
æ (2x2 + 3) /5приxÎ( - ¥, 1] ;
116.
í 6 – 5xприxÎ (1, 3);èx – 3приxÎ [3, +¥).
117.
arctg 
.118. xctgx.119.
.120 
.ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ И ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
121. -130. Найти производную функции одной переменной, исходя из определения производной.
y = tg2x.122. y = ln(3x + 1).123. y = cos(x2). 
y = sin(x2 + 2x).125. y = ctg(3x - 2).126. y = Ö 2x2 + 1.127. y = Ö 2 – cos3x.128. y = Ö 2 + sin2x.129. y = e2x.
y = (x + 1) /(x – 1).
131. -140. Найти производные первого порядка данных функций, используя правила вычисления производных.
1) y = Ö4x4 + tgx; 2) y = x1/2 / sinx;3) y = ctg5x / x3; 4) y = arctg(ex) + tg(arccos(ex)).
1) y = ln(tg(3x + 2)); 2) y = Ö 1 – x2 arcsinx;3) y = xtgx; 4) y = (x2 – 1) /(x2 + 1).
1) y = arccos(x2) + arcctg(x2); 2) xy = cos(x – y);
3) y = log2(2x + 1); 4) y = Ö1 – x2 / Ö1 + x2.1) y = (2 - 5x) / Ö2 – 5x + x2; 2) y = ex – y;
3) y = 2 lnx – x; 4) y = sin2 3t, x = cos4 3t.
1) y = (arcsinx) 1 – x; 2) y = cos2 x + tg2x;
3) x3 + y3 – 3xy = 3; 4) x = t – sin2t, y = 1 – cos 2t.
1) y = sin2x/(1 + sin2x); 2) y = 3arctgx + (arctgx) 3,
3) y = (1 + x2) 1 + 2x; 4) y = tg3t, x = cos2 3t.
1) y = 3 –3x + (3x) –3; 2) y = (x – 1) log5(x2 – 1),
3) y = (x2 + 1) x; 4) y = tg(x2/y2).
1) y = ln(lg(log2x)); 2) y = (x2 + x + 1) /(x2 + 1);
3) y = (x + 1) x; 4) ex + y = x – y.
1) y = (x2 + 1) 3 – (x2 – 1) 3; 2) y = (ln5x) /(x4 – 1);
3) y = (tgx) ctgx; 4) x = t ctg(t2), y = t cos2(t2).1) y = ln(x + Öx2 + 1); 2) y = x –sin2x;
3) y = 2/(x –1) + 1/(x2 – 1); 4) sin(x + y) + cos(x2 + y2) = 1.
141. -160. Построить график функции, используя общую схему исследования функции.
141. y = (x2 + 2x + 2) /(2 + x2) .142. y = (4 + x2) /(9 – x2).
143. y = (2 + 3x2) /(1 + x2).144. y = (x3 + 2x2 + 2) /(x2 + 1).
145. y = (x2 + 3x + 5) /(x – 1).146. y = (3x3 – 2) /x.
147. y = (2x2 +3x + 1) /(x – 2).148. y = x3/(x3 + 1).
149. y = (3 – 9x2) /(1 – 9x2).150. y = (x3 + 8) /(x3 – 8).
151. y = x e 2x – 1.152. y = ln(x2 – 9).
153. y = (1 + x2) exp(-x2).154. y = lg(4 + x2).
155. y = exp(2/(1 – x)) .156. y = ln(16 – x2).
157. y = x2 + 1 + 2lnx.158. y = exp(1 + 4x – 2x2).
159. y = (2 + x) exp( - 4 - 4x - x2)).160. y = (1 – x) - 0.5 lg(1 – x).
161. -170. Составить уравнение касательной и нормали:
к графику кривой y = f(x) в точке, абсцисса которой равна x0;
к графику кривой x = x(t), y = y(t) в точке, для которой параметр t равен t0.
Построить графики кривых, касательных и нормалей. Для каждой кривой найти кривизну в указанных точках.
161.1) y = -Ö(9 – x2) /3, x0 = - 3/2; 2) x = 3cost, y = Ö 3 sint, t0 = - p/3. 
162.1) y = Ö4 – 8x2, x0 = - 1/2; 2) x = -1/Ö2 cost, y = -2 sint, t0 = 5p/4.163.1) y = Ö16 – 4x2, x0 = 1; 2) x = -2 sint, y = - 4 cost, t0 = 5p/6.
164.1) y = -Ö8 – 3x2, x0 = -Ö 2; 2) x = 2Ö 2/3 cost, y = 2Ö 2 sint, t0 = -p/6. 
165.1) y = -Ö25 – 5x2, x0 = -0.5Ö 5; 2) x = -Ö 5 sint, y = 5 cost, t0 = 7p/6. 
166.1) y = Ö(4 – x2) /2, x0 = Ö 2; 2) x = 2sint, y = Ö 2 cost, t0 = -p/4. 
167.1) y = Ö8 – 4x2, x0 = -1; 2) x = Ö 2 cost, y = 2Ö 2 sint, t0 = p/4 
168.1) y = Ö(7 – x2) /2, x0 = -0.5Ö 7; 2) x = Ö 7 cost, y = Ö7/2 sint, t0 = p/3. 169.1) y = -Ö2(4 – x2), x0 = -1; 2) x = 2 sint, y = 2Ö 2 cost, t0 = 5p/6.170.1) y = -Ö4 – 8x2, x0 = -1/2; 2) x = 1/Ö 2 cost, y = 2 sint, t0 = 5p/4.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
171. -180. Даны функция u = f(x,y,z) и точки A(x0; y0; z0) и B(x1; y1; z1). Требуется:
вычислить значение u1 функции в точке В;
вычислить приближенное значение u1 функции в точке В, исходя из значения u0 функции в точке А, заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом, и оценить в процентах относительную погрешность, возникающую при замене приращения функции ее дифференциалом;
составить уравнение касательной плоскости к поверхности f(x,y,z) =C в точке А.
171. u = x2 + xyz + z2,A(1; 2; 1),B(1.05; 1.95; 0.96),C = 4.
172. u = x2z – xy + z2,A(1; 3; - 1),B(0.95; 3.08; - 0.96),C = - 3.
173. u = x2 + 2xz + y2z,A(4; 1; 0),B(4.1; 1.04; - 0.1),C = 16.
174. u = z2 – y2 + x + y + z,A(-2; 3; 1),B(-2.1; 3.1.1.05),C = - 6.
175. u = xy + yz + xz,A(2; 1; 2),B(1.96; 0.95; 2.1),C = 8.
176. u = x2 +y2 + z2 +x – z,A(1; - 1; 1),B(1.04; - 1.02; 0.95),C = 3.
177. u = 4 – xy2 +yz,A(-2; 1; 3),B(-2.1; 1.04; 3.1),C = 9.
178. u = x(y + z) – z2,A(-1; 2; 1),B(-0.95; 2.1; 0.95),C = - 4.
179. u = x2 – y2 + z2 + yz,A(1; 1; - 1),B(1.08; 0.92; - 1.08),C = 0.
180. u = 2x – z + 2y2 + xz,A(4; - 1; 1),B(3.95; - 1.05; 1.05),C = 13.
181. -190. Найти наименьшее и наибольшее значения функции
z = f(x; y) в области D, заданной системой неравенств. Сделать чертеж области D.
181. f(x; y) = x2 + 2y2 – 5xy,x³ - 1,y³ - 1,x + y£ 1.
182. f(x; y) = x2 – 3y2 + 6xy + 4,|x| + |y|£ 1.
183. f(x; y) = x2 + 2xy +3y + 4,y £ 5 - x2,y ³ 1.
184. f(x; y) = x2 + 2y2 – 2x – 4y + 5,1 £|x + y|£ 2,x ³ 0, y ³ 0.
185. f(x; y) = 2y2 + 6xy – 13x +2,x ³ y2 + 1,y ³ (x – 1) /2.
186. f(x; y) = 2x2 + 2y2 – 10x + 13y + 1,x ³ 2,y £ - 3,y ³ x – 6.
187. f(x; y) = x2 + 3y2 + xy – 2x – y + 4,|x - 1| + |y|£ 1.
188. f(x; y) = 2x2 + 2xy – 3y + 5,0 £ y £ x2,|x|£ 1.
189. f(x; y) = 3x2 + 2y2 – 12x + 4y + 7,2 £ x – y £ 4,x ³ 0, y £ 0.
190. f(x; y) = y2 + 2xy + 3x + 11,-3 £x£ - y2 + 1.
191. -200. Дано скалярное поле u = u(x,y). Требуется:
1) составить уравнение линии уровня u = C и построить эту линию; __
2) в точке А найти градиент и производную по направлению вектора АВ;
3) в точке А построить касательную и нормаль к линии уровня, получив их уравнения.
191. u = x2 + 4y2 + 4x + 4y,C = 13,A(1, - 2),B(2, 4).
192. u = x2 + 9y2 + 2x - 6y,C = 2,A(-1, 1),B(0, 4).
193. u = 4x2 + y2 + 4x - 4y,C = 36,A(2, - 2),B(1, 1).
194. u = 9x2 + y2 - 6x - 2y,C = 6,A(1, 3),B(3, 0).
195. u = x2 + 4y2 + 2x - 8y,C = 20,A(2, 3),B(1, 4).
196. u = 25x2 + y2 + 10x + 2y, C = 14,A(-1, - 1),B(2, 4).
197. u = 4x2 + 9y2 - 4x - 12y, C = 8,A(2, 0),B(-1, - 1).
198. u = 9x2 + 4y2 - 12x - 4y, C = 8,A(0, 2),B(2, 5).
199. u = x2 + 25y2 - 2x + 20y, C = 165,A(2, - 3),B(2, 1).
200. u = x2 + 4y2 + 2x - 4y,C = 35,A(5, 1),B(5, 4).
201. -210. Значения функции, полученные экспериментально, приведены в таблице. Методом наименьших квадратов найти наилучшую линейную аппроксимацию экспериментальной зависимости. На плоскости (x, y) построить полученную прямую и точки, заданные табл.1.