Комплексные числа избранные задачи (стр. 12 из 20)
Решение
Так как тригонометрическая форма комплексного числа имеет вид
, тогда:а) В комплексном числе
: 
.Тогда
,Поэтому
б)
, где 
, 
в)
, где 
, 
г)
, где , 
д)
, где 
, 
е)
.ж)
, а 
, то 
.Поэтому
Ответ:
; 
4; 
; 
; 
; 
; 
.Задача 56. Найдите тригонометрическую форму комплексного числа
.Решение
Пусть
, 
.Тогда
, 
, 
.Поскольку
и 
, 
, то 
, а 
.Следовательно,
, поэтому 
, где 
.Ответ:
, где .Задача 57. Используя тригонометрическую форму комплексного числа, произведите указанные действия:
.Решение.
Представим числа
и 
в тригонометрической форме.1)
, где 
тогда 
Находим значение главного аргумента
: 
Подставим значения
и в выражение 
, получим 
2)
, где 
тогда 
Тогда 
3) Найдем частное
Далее, применяя формулу (9) получим:
Полагая k=0, 1, 2, получим три различных значения искомого корня:
Если
, то 
если
, то 
если
, то 
.Ответ:
: : : .Задача 58. Пусть
, 
, 
, 
– различные комплексные числа и 
. Докажите, чтоа) число
является действительным положительным числом;б) имеет место равенство:
.Решение
а) Представим данные комплексные числа в тригонометрической форме:
, 
, 
, 
, так как 
.Предположим, что
. Тогда 
.Последнее выражение является положительным числом, так как под знаками синусов стоят числа из интервала
.