Комплексные числа избранные задачи (стр. 15 из 20)

Для корней кубического уравнения

(2)

имеется так называемая формула Кардано, хотя правильнее было бы ее называть формулой дель Ферро – Тартальи - Кардано.

Впервые приведенное кубическое уравнение

решил профессор Болонского университета Сципион дель Ферро в конце XV века. Затем в 1535 году те же формулы были выведены Николо Тартальей. Наконец, в 1545 году решение уравнения (1) было изложено в книге Джероламо Кардано "ArsMagna" ("Великое искусство").

Формулы Кардано имеют вид:

где

– значения радикала

Практически корни

находятся проще.

Пусть

– одно (любое) значение радикала u. Тогда два других значения можно найти следующим образом:

;

где e1 и e2 – значения корня кубического из 1 , т.е.

Если вычислить

то получим:

;

Действительно,

Аналогично доказывается равенство

Подставляя полученные значения

в формулу

находим практические формулы:

;

В нашем случае:

Таким образом, положим

. Тогда

следовательно,

Из последних равенств, учитывая, что

получаем:

Ответ:

;

Для приведенного кубического уравнения

(3)

дискриминант вычисляется по формуле:

При этом:

а) если

, то уравнение (3) имеет один действительный и два комплексно сопряженных корня;

б) если

, то уравнение (3) имеет три действительный корня, два из которых равны;

в) если

, то уравнение (3) имеет три различных действительный корня.

Таким образом, в любом случае уравнение (3) с действительными коэффициентами имеет хотя бы один действительный корень.

Рассмотрим решение уравнения 4-й степени методом Феррари на конкретном примере.

Пример 2. Решите уравнение

Решение.

Оставим в левой части уравнения члены, содержащие

Дополним левую часть полученного уравнения до полного квадрата:

или

(1)

Введем в полный квадрат левой части равенства (1) параметр r:

Откуда с учетом равенства (1) получим:

(2)

Подберем значение параметра r таким образом, чтобы дискриминант правой части равенства (2) обратился в нуль (т.е. чтобы в правой части равенства (2) также получился полный квадрат).

Дискриминант Dравен нулю тогда и только тогда, когда число rявляется корнем уравнения:

;

В частности,

, если

Подставив значение

в равенство (2), получим:

или

Откуда,

или

Следовательно,

;

Ответ:

;

Задача 69. Решите уравнение

Решение

Данное уравнение – приведенное. Здесь

. Следовательно,

Для извлечения кубического корня из комплексного числа

представим его в тригонометрической форме:

поэтому

, где

При

получаем:

Значит,

поэтому

Следовательно,