Комплексные числа избранные задачи (стр. 3 из 20)
Ответ:
; 
.Задача 5. При каких действительных значениях x и y комплексные числа
и 
будут равными?Решение
Комплексные числа
и 
будут равными, если выполняются условия: 
Ответ:
; 
.Задача 6. Решите уравнение
относительно действительных переменных x и y.Решение
Левую часть уравнения можно рассматривать, как некоторое неизвестное комплексное число. Приведя его к виду
, получаем уравнение равносильное данному: 
. Так как два комплексные числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части, приходим к системе: 
Ответ:
.Задача 7. Решите во множестве комплексных чисел уравнение
.Решение
Так как
, тогда корни находятся по формуле 
( 
).Отсюда,
, 
.Ответ:
.Задача 8. Решите уравнение
.Решение
Перепишем уравнение в виде
.Полагая
, получим уравнение 
, которое имеет корень 
. Поэтому левую часть этого уравнения можно представить в виде произведения двучлена 
и квадратного трехчлена.Для нахождения коэффициентов квадратного трехчлена применим схему Горнера:
| 1 | 1 | 2 | – 4 | |
| 1 | 1 | 2 | 4 | 0 |
Итак, получаем уравнение
.Квадратный трехчлен
имеет корни 
и 
.Следовательно, исходное уравнение имеет корни:
, 
, 
.Ответ:
; .Задача 9. Решите уравнение
.Решение
Корни данного уравнения находятся по формулам
, 
,где
и 
– числа, удовлетворяющие условию 
. Отсюда 
. Пусть 
, тогда 
, т. е. 
. Два комплексных числа равны, следовательно, равны их действительные и мнимые части: 
Находим два решения этой системы:
, 
. Таким образом,решениями исходного уравнения являются числа
, и 
, т. е. 
, 
.Ответ:
; 
.Задача 10. Произведите действия с комплексными числами в алгебраической форме:
а)
; б) 
; в) 
.Решение
а)
б)
в)
Ответ: а)
; б) 
; в) 
.Задача 11. Произведите следующие действия над комплексными числами:
а)
; б) 
; в) 
; г) 
.Решение
а)
;б)
;в)
;г)
.Ответ: а)
; б) 
; в) 
; г) 
.Задача 12. Запишите комплексное число
в виде .Решение
Имеем
Ответ:
.Задача 13. Найдите значение функции
при 
.Решение
Подставим значение x в функцию:
.Вычислим второе слагаемое:
.Вычислим первое слагаемое:
.Таким образом,
.