Комплексные числа избранные задачи (стр. 13 из 20)

б) Имеем

так как число

вещественно и положительно. Действительно, если a и b – комплексные числа и

вещественно и больше нуля, то

Кроме того,

следовательно, нужное равенство доказано.

Задача 59. Запишите в алгебраической форме число

Решение

Представим число

в тригонометрической форме, а затем найдем его алгебраическую форму. Имеем

. Для

получаем систему:

Отсюда следует равенство:

Применяя формулу Муавра:

получаем

Найдена тригонометрическая форма заданного числа.

Запишем теперь это число в алгебраической форме:

Ответ:

Задача 60. Найдите сумму

Решение

Рассмотрим сумму

Применяя формулу Муавра, найдем

Эта сумма представляет собой сумму n членов геометрической прогрессии со знаменателем

и первым членом

Применяя формулу для суммы членов такой прогрессии, имеем

Выделяя мнимую часть в последнем выражении, находим

Итак,

Выделяя действительную часть, получаем также следующую формулу:

Ответ:

Задача 61. Найдите сумму:

а)

; б)

Решение

По формуле Ньютона для возведения в степень имеем

По формуле Муавра находим:

Приравнивая вещественные и мнимые части полученных выражений для

, имеем:

Эти формулы в компактном виде можно записать так:

, где

- целая часть числа a.

Ответ:

;

Задача 62. Найдите все

, для которых

Решение

Поскольку

, то, применяя формулу

Для извлечения корней, получаем

Следовательно,

Точки, соответствующие числам

, расположены в вершинах квадрата, вписанного в окружность радиуса 2 с центром в точке (0;0) (рис. 30).

Рис. 30.

Ответ:

Задача 63. Решите уравнение

Решение

По условию

; поэтому данное уравнение не имеет корня

, и, значит, оно равносильно уравнению

Для того чтобы число zбыло корнем данного уравнения, нужно, чтобы число

было корнем п-й степени из числа 1.

Отсюда заключаем, что исходное уравнение имеет

корней

, определенных из равенств

Таким образом,

т. е.

Ответ:

Задача 64. Решите во множестве комплексных чисел уравнение

Решение

Так как число

не является корнем данного уравнения, то при

данное уравнение равносильно уравнению

, т. е. уравнению

Все корни этого уравнения получаются из формулы (см. задачу 62):