Явление сверхпроводимости (стр. 7 из 17)
Электронная волновая функция всего металла, содержащего N электронов в объёме V, является антисимметричным произведением N функции φk,σ. Основное состояние соответствует заполнение состояний, лежащих в k – пространстве внутри поверхности Ферми. Будем предполагать, что эта поверхность лежит далеко от границы зоны и изотропна, т. е. представляет собой сферу радиуса k0. при возбуждении электроны из состояний |k| < k0 переходят в состояния k| > k0.
Если εk – энергия состояния электрона с квазиимпульсом ђk, то в представлении вторичного квантования гамильтониан системы электронов (с точностью до постоянного слагаемого) имеет вид
, (20)где a+kσ, akσ – фермиевские операторы рождения и уничтожения квазичастиц.
Для определения оператора взаимодействия с фононами решётки металла учтём, что при смещении положительного иона, занимающего n – е место в решётке, на величину ξn, энергия взаимодействия электрона с решёткой
изменится на величину 
. Следовательно, в представлении вторичного квантования оператор электрон – фононного взаимодействия можно написать в виде 
(21),где
- оператор, выражающийся через ферми-операторы akσ и блоховские функции с помощью равенства 
. (22)Оператор смещения ионов
определён, следовательно, 
, (23)Где
, 
- бозе-операторы; s – скорость продольных звуковых волн, соответствующих волновому вектору q, так как только продольные волны дают вклад и для них ω(q) = sq.Учитывая, что сумма
, если 
, и равна нулю, если 
, получаем окончательное выражение операторов электрон-фононного взаимодействия в представлении чисел заполнения
, 
, (24)где
(1825) - сокращённое обозначение сумм произведений ферми-операторов; 
- малая величина, определяющая электрон-фононное взаимодействие. Интегрирование ведётся по одной элементарной ячейке. Буквами «э.с.» указываются члены, эрмитово сопряжённые ко всем предыдущим.Оператор взаимодействия (24) не зависит от спинового состояния электронов, поэтому в дальнейшем спиновый индекс σ можем не писать. Оператор (24) получен в предположении, что ионы в решётке движутся как единое целое, что D(q) зависит только от q и не зависит от k и что колебания ионов в решётке делятся на продольные и поперечные для всех значений q, поэтому взаимодействие осуществляется только с продольными фононами. Без этих упрощений вычисления сильно усложняются. Такое усложнение оправдывается только при необходимости получить количественные результаты.
Вследствие взаимодействия электронов с фононами меняются энергетические состояния электронов и фононов. Рассмотрим поведение электронов. Изменение спектра фононов под влиянием электронов будет учитываться только косвенно путём использования экспериментального значения для скорости звука s.
Итак, система электронов, взаимодействующих с фононами, будет описываться оператором Гамильтона
, где 
. (26)Нint определяется формулой (24).
Для оценки роли электрон-фононного взаимодействия проведём предложенное Фрелихом преобразование оператора (26), чтобы исключить возможно большую часть оператора взаимодействия. Преобразованный гамильтониан имеет вид
(27)Оператор преобразования, содержащий малое взаимодействие, выбирается в виде
, 
, (28)где
. (29)Функции Ф(k,q) связаны с взаимодействием. Их явный вид будет определён ниже.
Подставляя (26) и (28) в (27), находим, учитывая (24) и собирая члены одинакового порядка малости,
(30)Оператор (30) легко вычисляется, если учесть, что ферми-операторы ak, ak+ коммутируют с бозе – операторами bq и что из свойств ферми-операторов следует равенство
(31)Используя (29) и (31), вычислим предварительно коммутаторы
, 
, 
, 
.Используя найденные соотношения, вычислим в (30) члены, линейные относительно энергии взаимодействия:
(32)Выберем функции Ф(k,q) так, чтобы все выражения (32) обращались в нуль, т. е. положим
. (33)Используя (33), находим
Следовательно,
.Усредняя полученное выражение по вакуумному состоянию фононов, находим, используя (29) и (33),
. (34) 
Проведённые преобразования Фрелиха имеют смысл только при условии, что функции (33) являются малыми, так как в противном случае ряд (27) будет расходиться. Чтобы расширить область применимости полученного результата, следует в (33) заменить энергии электронов εк перенормированными энергиями Ек, которые находятся при решении нелинейного уравнения 
(35)Выражение (34) можно сохранить для части Hint, не содержащей значений q, при которых знаменатель (33) близок к нулю. Если выделить в Нint(q) члены, для которых (34) не имеет смысла, то гамильтониан электронов металла (с точностью до квадрата параметра взаимодействия) в вакуумном состоянии относительно фононов (низкие температуры) принимает вид
. (36)Второе слагаемое в (36) можно интерпретировать как энергию взаимодействия между электронами, обусловленную обменом виртуальными фононами. При этом каждое слагаемое в сумме соответствует взаимодействию между электронами, имеющими квазиимпульсы
и 
. Это взаимодействие соответствует притяжению, если 
. Поскольку 
, то для электронов, имеющих противоположно направленные импульсы, т.е. при 
, знаменатель в слагаемых суммы (36) принимает минимальное значение 
. В этом случае притяжение между электронами будет максимальным.Вследствие принципа Паули переход от состояния
возможен только в незанятое состояние с энергией над поверхностью Ферми. Следовательно, условие 
в (36) может осуществляться только для электронов с энергией, близкой к энергии Ферми, т.е. при 
.[4,С.281]2.6 Каноническое преобразование Боголюбова в теории сверхпроводимости
В теории сверхпроводимости учитывается только максимальное эффективное взаимодействие между электронами в состояниях, в которых отсутствуют реальные фононы, и отбрасываются все другие члены в гамильтониане (36). При учёте спина электрона наиболее сильное взаимодействие осуществляется между электронами, имеющими противоположно направленные квазиимпульсы и спины, так как только при антипараллельных спинах электроны могут подходить друг к другу. Таким образом, в качестве гамильтониана
электронов в металле объёма 
принимается эффективный гамильтониан