Явление сверхпроводимости (стр. 8 из 17)
, (37)где
- фурье-представление энергии взаимодействия двух электронов;
; (38)μ – определяемый из условия
химический потенциал, введённый в (37) для того, чтобы не вводить дополнительного условия постоянства числа частиц
.Слагаемые, отличающиеся только значениями σ, дают одинаковый вклад в суммы оператора (37), поэтому нужно написать
. (39)Для исследования спектра собственных значений этого оператора проведём каноническое преобразование ферми – операторов, предложенное Боголюбовым
, 
, (40)где uk и
- вещественные функции, симметричные относительно преобразования 
и удовлетворяющие соотношению
. (41)При выполнении условия (41) новые операторы
и 
удовлетворяют обычным перестановочным соотношениям для ферми – операторов.Переходя с помощью (40) к новым ферми-операторам, преобразуем (39) к виду
,где
(42)- постоянное слагаемое, не зависящее от ферми – операторов и соответствующее энергии основного состояния;
(43)- диагональная часть гамильтониана;
(44)- недиагональная часть гамильтониана, содержащая произведения двух ферми – операторов. Оператор Н2 содержит произведения четырёх новых ферми – операторов. При исследовании возбуждённых состояний малой энергии его можно опустить.
До сих пор вещественные функции uk и
канонического преобразования были произвольными при условии выполнения равенства (41). Выберем теперь эти функции таким образом, чтобы обратить в нуль оператор (44). Для этого достаточно потребовать, чтобы выполнялось равенство 
. (45)Можно убедиться, что это равенство является одновременно условием минимума энергии основного состояния (42) при дополнительном равенстве(41).
Введём обозначение
, (46)Тогда из (45) и (41) можно выразить искомые uk и
через 
и 
: 
, 
. (47)Подставив полученные выражения в (45), находим нелинейное уравнение, определяющее величину
: 
. (48)Значение
зависит от спектра энергии 
одночастичных состояний электронов без взаимодействия, отсчитанных относительно химического потенциала μ и функции 
, определяемых силами взаимодействия между электронами.Подставляя значения (46) и (47) в (43), можно преобразовать диагональную часть оператора Гамильтона к виду
. (49)Таким образом, вследствие взаимодействия между электронами их спектр элементарных возбуждений определяется функцией
. (50)Каждому значению квазиимпульса
относящихся к двум типам элементарных возбуждений, относящихся к операторам рождения 
и 
.Изменение одночастичного спектра, обусловленное взаимодействием, определяется величиной
, которая является корнем уравнения. Оно имеет тривиальное решение 
или 
. Выберем это решение в виде 
, 
, если 
; (51)Для определения свойств этого решения рассмотрим каноническое преобразование, обратное (40):
, (52) 
. (52)Следовательно, при значениях (51) вне сферы Ферми (
) операторы 
, 
. Следовательно, они уничтожают электроны, находящиеся, соответственно, в состояниях (k,1/2) и (-k, -1/2). Внутри же сферы Ферми ( 
) эти операторы имеют значения 
, 
. Следовательно, они соответствуют рождению электронов (или уничтожению дырок) в состояниях (-k, -1/2) и (k,1/2). Таким образом, преобразование (52) эквивалентно переходу к дырочному представлению. В состояниях, соответствующих тривиальному решению уравнения (48), спектр одноэлектронных состояний остаётся неизменным, так как 
. В этом случае металл находится в нормальном состоянии и оказывает сопротивление проходящему току.При достаточно больших силах притяжения, когда выполняется неравенство
, (53)наряду с тривиальным решением уравнения (48) имеется нетривиальное решение, при котором
и металл при низких температурах не обладает сопротивлением, если выполняется неравенство 
, где 
- волновой вектор поверхности Ферми, р – средний импульс электрона в токовом состоянии.Вычислим значение
для простейшего случая, когда 
равно постоянному значению ν, если k и k1 лежат внутри этого интервала. В этом случае согласно (46) внутри указанного интервала значение также постоянно ( 
), и уравнение (48) принимает вид 
, 
. (54)Если Δ больше расстояния между соседними подуровнями зоны проводимости е(k), то сумму можно заменить интегралом, используя равенство
.