Шпаргалка по Высшей математике 2 (стр. 12 из 21)

Заметим также, что теорема Ролля не утверждает, что корень

- единственный корень производной на интервале ; на этом интервале может находиться несколько корней производной.

Рис.5.4.Между двумя корнями дифференцируемой функции лежит хотя бы один корень её производной

Геометрический смысл:

Если крайние ординаты равны, то внутри

найдется точка, в которой касательная будет параллельна оси абсцисс.

Доказательство теоремы Ролля. Так как при наших предположениях функция

непрерывна на отрезке , то она принимает своё максимальное значение

и минимальное значение

в некоторых точках и этого отрезка.

Рассмотрим два случая. Если

, то наибольшее и наименьшее значения функции совпадают, и, следовательно, функция постоянна на отрезке : . Значит, при всех , и в качестве в этом случае можно взять любую точку

интервала .

Если же

, то либо

, либо

отлично от 0 и, следовательно, либо точка , либо точка не совпадает с концами отрезка

, то есть лежит внутри интервала . Пусть, для определённости, - внутренняя точка интервала. Тогда, по теореме Ферма,

, поскольку по предположению доказываемой теоремы, имеет производную во всех точках интервала и, следовательно, в точке . Итак, в этом случае точку можно взять в качестве искомой точки : тогда .

Билет 17:

Вопрос 1: Определение параболы. Вывод уравнения:

Определение. Параболой называется множество точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой и не проходящей через фокус.

Расположим начало координат посередине между фокусом и директрисой.

А М(х, у)

О F x

p/2 p/2

Величина р (расстояние от фокуса до директрисы) называется параметром параболы. Выведем каноническое уравнение параболы.

Из геометрических соотношений: AM = MF; AM = x + p/2;

MF2 = y2 + (x – p/2)2

(x + p/2)2 = y2 + (x – p/2)2

x2 +xp + p2/4 = y2 + x2 – xp + p2/4

y2 = 2px

Уравнение директрисы: x = -p/2.

Вопрос 2: Теорема Коши:

Теорема: Пусть функции

и дифференцируемы на интервале и непрерывны при

и , причём при всех . Тогда в интервале найдётся такая точка , что

Геометрический смысл: Данные теоремы состоят в том, что внутри

есть точка t₀, угловые коэффициенты в которой вычисляются по равенству:

Доказательство. Докажем сначала, что

, то есть что дробь в левой части формулы имеет смысл. Действительно, для этой разности можно записать формулу конечных приращений:

при некотором . Но в правой части этой формулы оба множителя отличны от нуля.

Для доказательства теоремы введём вспомогательную функцию

Функция

, очевидно, является дифференцируемой при всех и непрерывной в точках

и , поскольку этими свойствами обладают функции и . Кроме того, очевидно, что при

получается . Покажем, что и :

Значит, функция

удовлетворяет на отрезке условиям теоремы Ролля. Поэтому существует такая точка , что .

Вычислим теперь производную функции

Получаем, что

откуда получаем утверждение теоремы:

Замечание: Можно считать функции

и координатами движущейся на плоскости точки, которая описывает линию

, соединяющую начальную точку с конечной точкой .(Тогда уравнения и параметрически задают некоторую зависимость , графиком которой служит линия