Шпаргалка по Высшей математике 2 (стр. 20 из 21)

Таблица 1
потребление итого на конечный валовый
отрас. внутре продукт выпуск
производ. уi хi
1 2 k n потребление
отрас. хik
1 х11 х12 х1k х1n х1k у1 х1
2 х21 х22 х2k х2n х2k у2

Вопрос 2: Градиент:

Определение: Градиентом функции z=(M) в точке М(х;у) называется вектор, координаты которого равны соответствующим частным производным

и

, взятым в точке М(х;у).

Обозначение: gradz=

.

Для трех переменных функции u=f(x;y;z) градиент будет: gradu(u_x’(M₀);u_y’(M₀);u_z’(M₀))

Градиенты используются в задачах оптимизации, так как градиент направление наискорейшего роста функции.

Билет 29:

Вопрос 1: Определение ранга матрицы. Теорема Кронекера-Капелли:

Определение: Пусть дана матрица

размеров и число , не превосходящее наименьшего из чисел и : . Выберем произвольно строк матрицы и столбцов (номера строк могут отличаться от номеров столбцов). Определитель матрицы, составленной из элементов, стоящих на пересечении выбранных строк и столбцов, называется минором порядка матрицы .

Пример: Пусть

.

Минором первого порядка является любой элемент матрицы. Так 2, -5,-4 - миноры первого порядка.

Миноры второго порядка:

возьмем строки 1, 2, столбцы 1, 2, получим минор

;

возьмем строки 1, 3, столбцы 2, 4, получим минор

;

возьмем строки 2, 3, столбцы 1, 4, получим минор

Миноры третьего порядка: строки здесь можно выбрать только одним способом, возьмем столбцы 1, 3, 4, получим минор

;

возьмем столбцы 1, 2, 3, получим минор

.

Свойство 1:Если все миноры матрицы

порядка равны нулю, то все миноры порядка , если такие существуют, тоже равны нулю.

Свойство 2: При транспонировании матрицы ее ранг не меняется, то есть

.

Свойство 3: Пусть ранг матрицы равен

. Тогда любой минор порядка , отличный от нуля, называется базисным минором.

Свойство 4: Система столбцов (строк) называется линейно зависимой, если существует такой набор коэффициентов, из которых хотя бы один отличен от нуля, что линейная комбинация столбцов (строк) с этими коэффициентами будет равна нулю.

Свойство 5: Система столбцов (строк) является линейно независимой, если из равенства нулю линейной комбинации этих столбцов (строк) следует, что все коэффициенты этой линейной комбинации равны нулю.

Свойство 6: Предложение 14.25 Система столбцов (строк) является линейно зависимой тогда и только тогда, когда один из столбцов (одна из строк) является линейной комбинацией других столбцов (строк) этой системы.

Свойство 7: Ранг матрицы равен максимальному числу ее столбцов, образующих линейно независимую систему.

Свойство 8: Ранг матрицы равен максимальному числу ее строк, образующих линейно независимую систему.

Свойство 9: Если определитель матрицы равен нулю, то один из его столбцов (одна из строк) является линейной комбинацией остальных столбцов (строк).

Свойство 10: При элементарных преобразованиях ранг матрицы не меняется.

Теорема Кронекера – Капели: Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы.

Доказательство.

1) Если решение существует, то столбец свободных членов есть линейная комбинация столбцов матрицы А, а значит добавление этого столбца в матрицу, т.е. переход АА* не изменяют ранга.

2) Если RgA = RgA*, то это означает, что они имеют один и тот же базисный минор. Столбец свободных членов – линейная комбинация столбцов базисного минора, те верна запись, приведенная выше.

Пример. Определить совместность системы линейных уравнений:

A =

~

. RgA = 2.

A* =

RgA* = 3.

Система несовместна.

Вопрос 2: Производная по направлению:

Пусть z=f(M) – функция, определенная в некоторой окрестности точки М(х;у);

={соs

;cos

) – единичный вектор; L – направленная прямая, проходящая через точку М; М₁(х+

;у+

) - точка на прямой L;

- величина отрезка ММ₁;

- f(x;y) – приращение функции f(M) в точке М(х;у).

Определение: Предел отношения

при

(М1

М), если он существует, называется производной функции z=f(M) в точке М(х;у) по направлению вектора и обозначается

, то есть

.

Если функция f(M) дифференцируема в точке М(х;у), то в точке М(х;у) существует производная по любому направлению

, исходящему из М; вычисляется по следующей формуле:

, где соs

и cos

- направляющей косинусы вектора .

Билет 30:

Вопрос 1: Определение функции. Способы задания функции:

Отображе́ние или фу́нкция (лат. functio — исполнение, осуществление) — одно из основных понятий математики, выражающее зависимость одной величины от другой.

Способы задания функции:

1. Словесный

у равен целой части от х. (

)

1. Аналитический

1. Графический

С помощью графика.

1. Табличный

Функция задается таблицей значений

Вопрос 2: Экстремумы функции нескольких переменных: