Шпаргалка по Высшей математике 2 (стр. 16 из 21)
Свойство 6: Если матрица содержит нулевую строку, то ее определитель равен нулю.
Свойство 7: Если одна из строк матрицы равна другой, умноженной на число
(строки пропорциональны), то определитель матрицы равен нулю.Свойство 8: Пусть в матрице
-ая строка имеет вид 
. Тогда 
, где матрица 
получается из матрицы заменой -ой строки на строку 
, а матрица 
-- заменой -ой строки на строку 
.Свойство 9: Если к одной из строк матрицы добавить другую, умноженную на число, то определитель матрицы не изменится.
Свойство 10: Если одна из строк матрицы является линейной комбинацией других ее строк, то определитель матрицы равен нулю.
Свойство 11: Алгебраическим дополнением к элементу
матрицы называется число, равное 
, где 
-- определитель матрицы, полученной из матрицы вычеркиванием -ой строки и 
-ого столбца.Алгебраическое дополнение к элементу
матрицы обозначается 
.Свойство 12: Разложение определителя по произвольной строке. Для определителя матрицы
справедлива формула 
Свойство 13: Для квадратной матрицы
порядка 
при 
выполнено соотношение 
Свойство 14: Все свойства определителя, сформулированные для строк справедливы и для столбцов, в частности, справедливо разложение определителя по
-ому столбцу 
и равенство
при
.Свойство 15: Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов ее главной диагонали.
Вопрос 2: Определение точек перегиба. Достаточное условие перегиба:
Точка перегиба функции
внутренняя точка x0 области определения функции такая, что функция непрерывна в этой точке, и x0 является одновременно концом интервала строгой выпуклости вверх и концом интервала строгой выпуклости вниз.В этом случае точка (x0;f(x0)) является точкой перегиба графика функции, т. е. график функции f в точке (x0;f(x0)) «перегибается» через касательную к нему в этой точке:
при x<x0 касательная лежит под графиком f, а при x > x0 — над графиком функции (или наоборот).
Необходимое условие существования точки перегиба: если функция f(x), дважды дифференцируемая в некоторой окрестности точки x0, имеет в x0 точку перегиба, то f''(x0) = 0.
Достаточное условие существования точки перегиба: если функция f(x) в некоторой окрестности точки x k раз непрерывно дифференцируема, причем k нечётно и
, и f(n) = 0 при n = 2,3,...,k − 1, а 
, то функция f(x) имеет в x0 точку перегиба.Билет 23:
Вопрос 1: Алгебраическое дополнение. Теорема Лапласа:
Определение. Алгебраическим дополнением минора матрицы называется его дополнительный минор, умноженный на (-1) в степени, равной сумме номеров строк и номеров столбцов минора матрицы. В частном случае, алгебраическим дополнением элемента матрицы называется его минор, взятый со своим знаком, если сумма номеров столбца и строки, на которых стоит элемент, есть число четное и с противоположным знаком, если нечетное.
Теорема Лапласа. Если выбрано s строк матрицы с номерами i1, … ,is, то определитель этой матрицы равен сумме произведений всех миноров, расположенных в выбранных строках на их алгебраические дополнения.
Вопрос 2: Асимптоты графиков функции:
Назовём асимптотами прямые линии, к которым неограниченно приближается график функции, когда точка графика неограниченно удаляется от начала координат. В зависимости от поведения аргумента при этом, различаются два вида асимптот: вертикальные и наклонные.
Определение: Вертикальной асимптотой графика функции 
называется вертикальная прямая
, если 
или 
при каком-либо из условий: 
, 
, 
. Заметим, что мы при этом не требуем, чтобы точка 
принадлежала области определения функции 
, однако она должна быть определена по крайней мере в какой-либо из односторонних окрестностей этой точки: 
или 
, где 
.Определение: Наклонной асимптотой графика функции при 
называется прямая 
, если выполнены два условия:
1) некоторый луч 
целиком содержится в 
;
2) расстояние по вертикали между графиком и прямой стремится к 0 при
: 
Наклонной асимптотой графика функции при 
называется прямая
, если: 1) некоторый луч
целиком содержится в ; 2) расстояние по вертикали между графиком и прямой стремится к 0 при
: 
Рис.7.6.Графики функций, имеющие наклонные асимптоты при
и при