Шпаргалка по Высшей математике 2 (стр. 15 из 21)

Вопрос 2: Производные высших порядков:

Если функция

дифференцируема при всех , то мы можем рассмотреть функцию , сопоставляющую каждой точке

значение производной . Эта функция называется производной функции , или первой производной от . (Иногда саму исходную функцию называют нулевой производной и обозначают тогда .) Функция , в свою очередь, может иметь производную во всех (или некоторых) точках

интервала , которую мы обозначим и назовём второй производной функции . Если предположить, что вторая производная существует во всех точках , то она может также иметь производную , называемую третьей производной функции , и т. д. Вообще,

-й производной функции называется производная от предыдущей, -й производной :

если эта производная существует.

-я производная называется также производной

-го порядка, а её номер

называется порядком производной.

При

первую, вторую и третью производные принято обозначать штрихами: или ; при прочих

- числом в скобках в верхнем индексе: или .

Физический смысл производной второго порядка проясняется из того, что если первая производная

задаёт мгновенную скорость изменения значений в момент времени

, то вторая производная, то есть производная от , задаёт мгновенную скорость изменения значений мгновенной скорости, то есть ускорение значений . Следовательно, третья производная - это скорость изменения ускорения (или, что то же самое, ускорение изменения скорости, поскольку, как очевидно следует из определения, ).

Геометрический смысл второй производной связан с понятиями выпуклости и кривизны графика функции.

Билет 21:

Вопрос 1: Определители второго и третьего порядка:

Определитель квадратной матрицы

будем обозначать

или

Определение: Определителем квадратной матрицы

второго порядка называется число

. Определителем квадратной матрицы

порядка

, называется число

где

- определитель матрицы порядка

, полученной из матрицы

вычеркиванием первой строки и столбца с номером

Замечание 1: Реальное вычисление определителей для матриц выше третьего порядка на основе определения используется в исключительных случаях. Как правило, вычисление ведется по другим алгоритмам.

Замечание 2: определитель есть функция, определенная на множестве квадратных матриц порядка

и принимающая значения в множестве чисел.

Замечание 3: В литературе вместо термина "определитель" используется также термин "детерминант", имеющий тот же самый смысл. От слова "детерминант" и появилось обозначение

Вопрос 2: Исследование участков монотонности функции:

Признак монотонности функции: Функция f(x) не убывает и не возоастает на промежутке X, если для любых X₁, X₂

X из условия X₁ < X₂ следует неравенство

f(x₁)≤f(x₂) или f(x₁)≥f(x₂).

Если для тех же X из условия X₁ < X₂ следует неравенство f(x₁)<f(x₂) или f(x₁)>f(x₂), то функция f(x) называется возрастающей или убывающей на промежутке Х.

Теорема: Если функция дифференцируема на (a;b) и f’(x)≥0 или f’(x)≤0 на (a;b), то функция f(х) не убывает или не возрастает на (a;b).

Перечислим свойства монотонных функций (предполагается, что все функции определены на некотором промежутке D).

Сумма нескольких возрастающих функций является возрастающей функцией.
Произведение неотрицательных возрастающих функций есть возрастающая функция.
Если функция f возрастает, то функции cf (c > 0) и f + c также возрастают, а функция cf (c < 0) убывает. Здесь c – некоторая константа.
Если функция f возрастает и сохраняет знак, то функция 1/f убывает.
Если функция f возрастает и неотрицательна, то
где
, также возрастает.
Если функция f возрастает и n – нечетное число, то f n также возрастает.
Композиция g (f (x)) возрастающих функций f и g также возрастает.

Билет 22:

Вопрос 1: Основные свойства определителей:

Свойство1: При транспонировании матрицы определитель не меняется, то есть

Свойство 2: Определитель произведения квадратных матриц равен произведению определителей сомножителей, то есть

Свойство 3: Если в матрице

поменять местами две строки, то ее определитель сменит знак.

Свойство 4: Если матрица

имеет две одинаковые строки, то ее определитель равен нулю.

Свойство 5: Если строку матрицы умножить на число

, то ее определитель умножится на это число.