Шпаргалка по Высшей математике 2 (стр. 13 из 21)

Рис.5.6.Хорда параллельна некоторой касательной к кривой

Отношение

, как нетрудно видеть из чертежа, задаёт тогда угловой коэффициент хорды, соединяющей точки и . В то же время, по формуле производной функции, заданной параметрически, имеем: . Значит, дробь - это угловой коэффициент касательной к линии

в некоторой точке . Тем самым утверждение теоремы означает, с геометрической точки зрения, что на линии

найдётся точка такая, что проведённая в этой точке касательная параллельна хорде, соединяющей крайние точки линии. Но это - то же самое утверждение, которое составляло геометрический смысл теоремы Лагранжа. Только в теореме Лагранжа линия

была задана явной зависимостью , а в теореме Коши - зависимостью, заданной в параметрической форме.

Билет 18:

Вопрос 1: Понятие матрицы. Классификация матриц:

Определение. Матрицей размера mn, где m- число строк, n- число столбцов, называется таблица чисел, расположенных в определенном порядке. Эти числа называются элементами матрицы. Место каждого элемента однозначно определяется номером строки и столбца, на пересечении которых он находится. Элементы матрицы обозначаются aij, где i- номер строки, а j- номер столбца. А =

Классификация матриц:.

Матрица может состоять как из одной строки, так и из одного столбца. Вообще говоря, матрица может состоять даже из одного элемента.

Определение. Если число столбцов матрицы равно числу строк (m=n), то матрица называется квадратной.

Определение. Матрица вида:

= E, называется единичной матрицей.

Определение. Если amn = anm , то матрица называется симметрической. Пример.

- симметрическая матрица

Определение. Квадратная матрица вида

называется диагональной матрицей.

Вопрос 2: Теорема Лагранжа:

Теорема: Пусть функция

дифференцируема на интервале и непрерывна в точках

. Тогда найдётся такая точка , что

Геометрический смысл: Дадим сначала геометрическую иллюстрацию теоремы. Соединим конечные точки графика

на отрезке хордой. Конечные приращения и - это величины катетов треугольника, гипотенузой которого служит проведённая хорда.

Рис.5.5.Касательная в некоторой точке параллельна хорде

Отношение конечных приращений

- это тангенс угла наклона хорды. Теорема утверждает, что к графику дифференцируемой функции можно провести в некоторой точке касательную, которая будет параллельна хорде, то есть угол наклона касательной

( ) будет равен углу наклона хорды ( ). Но наличие такой касательной геометрически очевидно.

Заметим, что проведённая хорда, соединяющая точки

и - это график линейной функции

. Поскольку угловой коэффициент этой линейной функции равен, очевидно, , то

Доказательство теоремы Лагранжа. Сведём доказательство к применению теоремы Ролля. Для этого введём вспомогательную функцию

, то есть

Заметим, что

и (по построению функции ). Так как линейная функция дифференцируема при всех , то функция удовлетворяет, тем самым, всем свойствам, перечисленным в условии теоремы Ролля. Поэтому найдётся такая точка , что .

Заметим теперь, что

Значит, равенство

можно переписать в виде

Из теоремы Лагранжа вытекает утверждение, обратное к тому, что производная постоянной есть 0, а именно:

Следствие: Пусть на интервале

функция имеет производную , тождественно равную 0: . Тогда на интервале .

Доказательство. Заметим для начала, что непрерывность функции

в любой точке интервала следует из дифференцируемости в этой точке. Значит, теорему Лагранжа можно применить к функции

на любом отрезке .

Возьмём любые две точки

, такие что , и выпишем для функции на отрезке формулу конечных приращений: , при некотором . Но в любой точке производная по предположению равна 0, в том числе . Отсюда , или . Обозначим это общее значение через

. Выбирая произвольно точку , получим, что при всех ; выбирая произвольно точку , - что при всех . Но это означает, что при всех .