Информационная система университета (стр. 13 из 16)
Готовность системы определяется как сумма вероятностей нахождения ее в работоспособном состоянии:
. (46)Под готовностью системы к моменту времени t понимается вероятность того, что система находится в рабочем состоянии во время t.
Надежность системы после t (времени отладки, за которое уже выявлено К ошибок, т.е. система находится в состоянии n-k (К-я ошибка исправлена, а (К+1)-я еще не обнаружена), может быть определена из состояния:
, (47)где
— интервал времени, когда может появиться (К+ 1)-я ошибка; 
— принятая постоянная интенсивность проявления ошибок.
Рассмотрим решение модели для случая, когда интенсивность появления ошибок l и интенсивность их исправления m- постоянные величины. Составляется система дифференциальных уравнений:
; 
, k=1,2,3,… (48) 
, k=0,1,2,3,…Начальными условиями для решения системы могут являться:
Pn(0) = 1;
Pn-k(0) = 0; k=1,2,3,… (49)
Pm-k(0) = 0; k=1,2,3,…
При имеющихся начальных условиях система уравнений может быть решена классически или с использованием преобразований Лапласа.
В результате решения определяются Pn-k и Pm-k для случая, когда l и m - константы.
Для общего случая отбросим ограничение постоянства интенсивностей появления и исправления ошибок и предположим, что
, k=1,2,3,…, (50)т.е. являются функциями числа ошибок, найденных к этому времени в ПС. Система дифференциальных уравнений для такого случая имеет вид:
, K=1,2,3, … (51) 
, K=1,2,3, …Начальные условия для решения системы будут:
Pn(0)=1;
Pn-k(0)=0; k=1,2,3,… (52)
Pm-k(0)=0; k=1,2,3,…
Система может быть решена методом итераций Эйлера. Предполагается, что в начальный период использования модели значения Х и р должны быть получены на основе предыдущего опыта разработчика. В свою очередь, модель позволяет накапливать данные об ошибках, что дает возможность повышения точности анализа на основе предыдущего моделирования. Практическое использование модели требует громоздких вычислений и делает необходимым наличие ее программной поддержки.
10.3. Статические модели надежности
Статические модели принципиально отличаются от динамических прежде всего тем, что в них не учитывается время появления ошибок в процессе тестирования и не используется никаких предположений о поведении функции риска А..((). Эти модели строятся на твердом статистическом фундаменте.
Модель Миллса. Использование этой модели предполагает необходимость перед началом тестирования искусственно вносить в программу ("засорять") некоторое количество известных ошибок. Ошибки вносятся случайным образом и фиксируются в протоколе искусственных ошибок. Специалист, проводящий тестирование, не знает ни количества, ни характера внесенных ошибок до момента оценки показателей надежности по модели Миллса. Предполагается, что все ошибки (как естественные, так и искусственно внесенные) имеют равную вероятность быть найденными в процессе тестирования.
Тестируя программу в течение некоторого времени, собирается статистика об ошибках. В момент оценки надежности по протоколу искусственных ошибок все ошибки делятся на собственные и искусственные. Соотношение:
, (53)дает возможность оценить N - первоначальное число ошибок в программе. В данном соотношении, которое называется формулой Миллса, S - количество искусственно внесенных ошибок, n - число найденных собственных ошибок, V - число обнаруженных к моменту оценки искусственных ошибок. Например, если в программу внесено 50 ошибок и к некоторому моменту тестирования обнаружено 25 собственных и 5 внесенных ошибок, то по формуле Миллса делается предположение, что первоначально в программе было 250 ошибок.
Вторая часть модели связана с проверкой гипотезы от N Предположим, что в программе имеется К собственных ошибок| и внесем в нее еще S ошибок. В процессе тестирования были обнаружены все S внесенных ошибок и n собственных ошибок.
Тогда по формуле Миллса мы предполагаем, что первоначально в программе было N = n ошибок. Вероятность, с которой можно высказать такое предположение, возможно рассчитать по следующему соотношению:
1, если n<K;С =
; если n£K . (54)Например, если утверждается, что в программе нет ошибок (К=0), и при внесении в программу 10 ошибок все они в процессе тестирования обнаружены, но при этом не выявлено ни одной собственной, то С=0,9. То есть с вероятностью 0,9 можно утверждать, что в программе нет ошибок. Но если в процессе тестирования была обнаружена одна собственная ошибка, то С=1, так как n > К, и наше предположение о том, что в программе нет ошибок, на 100% не подтвердилось.
Таким образом, величина С является мерой доверия к модели и показывает вероятность того, насколько правильно найдено значение N. Эти два связанных между собой по смыслу соотношения образуют полезную модель ошибок: первое предсказывает возможное число первоначально имевшихся в программе ошибок, а второе используется для установления доверительного уровня прогноза. Однако формула (54) для расчета С не может быть использована в случае, когда не обнаружены все искусственно рассеянные ошибки. Для этого случая, когда оценка надежности производится до момента обнаружения всех 5 рассеянных ошибок, величина С рассчитывается по модифицированной формуле (55):
1, если n>KC=
, если n£K, (55)где числитель и знаменатель формулы при n < К являются биноминальными коэффициентами вида:
. (56)В действительности модель Миллса можно использовать для оценки N после каждой найденной ошибки. Предлагается во время всего периода тестирования отмечать на графике число найденных ошибок и, текущие значения для N. Достоинством модели являются простота применяемого математического аппарата, наглядность и возможность использования в процессе тестирования.
Однако она не лишена и ряда недостатков, самые существенные из которых - это необходимость внесения искусственных ошибок (этот процесс плохо формализуем) и достаточно вольное допущение величины К, которое основывается исключительно на интуиции и опыте человека, проводящего оценку, т.е. допускает большое влияние субъективного фактора.
Модель Липова. Липов модифицировал модель Миллса, рассмотрев вероятность обнаружения ошибки при использовании различного числа тестов. Если сделать то же предположение, что и в модели Миллса, т.е. что собственные и искусственные ошибки имеют равную вероятность быть найденными, то вероятность обнаружения п собственных и V внесенных ошибок равна:
, (57)где m — количество тестов, используеиых при тестировании;
q — вероятность обнаружения ошибки в каждом из т тестов, рассчитанная по формуле:
, (58)S - общее количество искусственно внесенных ошибок;
N-количество собственных ошибок, имеющихся в ПС до начала тестирования.
Для использования модели Лилова должны выполняться следующие условия:
N³n³0;
S³V³0; (59)
m³n+V³0.
Оценки максимального правдоподобия (наиболее вероятное значение) для N задаются соотношениями:
при n³1, V³1;N =
при V = 0; (60)0 при n = 0.
Модель Лилова дополняет модель Миллса, дав возможность оценить вероятность обнаружения определенного количества ошибок к моменту оценки.
Простая интуитивная модель. Использование этой модели предполагает проведение тестирования двумя группами программистов (или двумя программистами в зависимости от величины программы) независимо друг от друга, использующими независимые тестовые наборы. В процессе тестирования каждая из групп фиксирует все найденные ею ошибки. При оценке числа оставшихся в программе ошибок результаты тестирования обеих групп собираются и сравниваются.
Получается, что первая группа обнаружила N1 ошибок, вторая – N2, а N12 - это ошибки, обнаруженные обеими группами.