Развитие математических способностей учащихся в основной школе (стр. 7 из 12)
Выводы.
Процесс развития математических способностей учащихся требует от учителя большого профессионализма. Для обеспечения эффективности своей деятельности педагог должен владеть разнообразными методами обучения, использовать в своей работе многочисленные приёмы и средства обучения. Его деятельность должна быть направлена на развитие самостоятельности и творческого потенциала в учениках. Поэтому для успешного осуществления своей деятельности учитель нуждается в разнообразных методических пособиях и рекомендациях, в обмене педагогическим опытом с другими учителями. В следующем разделе будут рассмотрены конкретные рекомендации по организации процесса развития математических способностей на уроке и внеклассных занятиях.
Раздел 2. Частная методика.
2.2.1. Развитие математических способностей на уроках математики.
В подавляющем большинстве учебников и дидактических пособий для средней школы практически отсутствуют задачи, которые способствовали бы подготовке учеников к деятельности творческого характера и формированию у них соответствующих математических способностей. Математические знания учащихся слишком часто оказываются формальными и невостребованными, у основной массы учащихся не формируется разумный подход к поиску способа решения незнакомых задач.
Поэтому на уроках математики необходимо более активно заниматься развитием навыков в применении общих форм математической деятельности, таких, как:
· использование известных алгоритмов, формул, процедур;
· кодирование, преобразование, интерпретация:
· классификация и систематизация;
· правдоподобные рассуждения;
· выдвижение и проверка гипотез, доказательство и опровержение;
· разработка алгоритмов.
В данном разделе будут рассмотрены задачи разного уровня сложности, решение которых способствует развитию у учащихся навыков в использовании некоторых из выделенных выше общих форм математической деятельности.
1. Использование известных алгоритмов, формул, процедур.
К сожалению, в преподавании математики в российской школе по-прежнему доминирует формальный подход, связанный с отработкой конкретных методов решений. Существует такой тезис: «Если учащемуся предлагают упражнения только одного типа, выполнение каждого из них сводится к одной и той же операции, если эту операцию не приходится выбирать среди сходных и условия, данные в упражнении, не являются для учащегося непривычными и он уверен в безошибочности своих действий, то учащийся перестает задумываться об их обоснованности». Этот тезис можно подкрепить описанием следующей психолого-дидактической закономерности:последовательность рассуждений (А, В, С ..... М), повторяющаяся при решении однотипных задач, может свертываться до составной ассоциации (А, М). Однако обратный процесс — развертывание — происходит без потерь не у всех учащихся.
Этот эффект хорошо известен составителям вариантов вступительных экзаменов в высшие учебные заведения: какова бы ни была по сути проста задача, но если ее решение предполагает использование двух различных (хотя бы и известных) алгоритмов или же если в нем должно содержаться некоторое исследование (к примеру, по параметру), то массовые ошибки неизбежны. Более того, ошибки часто появляются и в том случае, если алгоритм используется в ситуации, в которой он неприменим.
Задача 1.1. Решите систему
Решение этой задачи, как нетрудно видеть, сводится к цепочке простых логических рассуждений и использованию стандартных формул. Однако для того, чтобы получить правильный ответ, эти стандартные формулы следует правильно использовать. Не приводя ответ полностью, выпишем одну из четырех серий решений
(1)К сожалению, слишком многие учащиеся бездумно отождествляют параметры k и n и вместо серии (1) пишут, что
упуская тем самым, условно говоря, большую часть решений этой серии.
Задача 1.2. Некоторое число умножили на 3, а затем к полученному произведению прибавили 2. Верно ли, что полученное число больше исходного?
Ясно, что За + 2 > а только при а > - 1, но какой процент, к примеру, семиклассников сразу даст верный ответ?
Реакция учащихся на последнюю из проводимых в этом разделе задач продемонстрирует степень их понимания стандартной схемы решения иррациональных уравнений.
Задача 1.3. Решите уравнение 
Большая часть учеников начнет решение с нахождения ОДЗ и раскрытия модуля. А между тем можно сразу перейти к уравнению
Целесообразно задать учащимся такой вопрос: «Как вам кажется, какое уравнение проще решить, данное выше или уравнение 
?».
2. Кодирование, преобразование, интерпретация.
Простейшим примером использования указанных форм деятельности является их внутриматематическое применение, к примеру, замена переменной, перевод задачи с одного математического языка на другой (от алгебры к геометрии и обратно).
Кодирование или переформулирование способствует выявлению скрытых свойств объектов (существенных для данной задачи) путем включения их в другую систему связей. Использование разнообразных формулировок задачи способствует ее пониманию. Культура мышления предполагает развитое умение думать об одном и том же на разных языках.
Нужно уметь создавать и пользоваться различными моделями. А потому важно научить школьников формализовывать задачи и переводить условия и результаты с одного языка на другой, т.е. кодировать информацию, понимать смысл (т.е. интерпретировать) полученных в результате исследования результатов. Многие школьные задачи содержат в себе элементы кодирования, преобразования, интерпретации (к примеру, практически все текстовые задачи, но далеко не только они). Приведем примеры.
Задача 2.1. Докажите, что если от произвольного двузначного числа отнять двузначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, то получится число кратное девяти.
Самая первая кодировка, с которой знакомятся школьники в процессе обучения математике, — это десятичная (позиционная) запись натуральных чисел. Если
— исходное число, то 
,а число, «записанное теми же цифрами в обратном порядке», равно 
, поэтому их разность 
кратна девяти.Задача 2.2. Вычислите
Это число равно двум! Действительно, если положить
, то получим выражение (а + 1)(а + 2) - а(а + 3) = а2 +3а + 2 - а2 - За = 2вне зависимости от значения переменной а.Конечно, тот же результат может быть получен, если записать каждую из входящих в данное выражение дробей в виде
и раскрыть скобки. При таком способе решения еще придется увидеть (не используя калькулятор), что 1997∙1998 -1996 ∙1999 = 2.
Самое время сказать несколько слов о роли калькуляторов в обучении математике. Если он имеется у каждого учащегося в классе, то бессмысленно предлагать подобную единичную задачу; ясно, что ее математическое содержание останется нераскрытым. Необходимо дать несколько примеров, в каждом из которых ответ - 2, с тем, чтобы затем «разгадать загадку».
Задача 2.3. Проверьте, что
(2)и найдите еще несколько подобных примеров.
Проверить это равенство легко, труднее найти аналогичные. Конечно, кто-то может сразу догадаться, что 8 = 32 - 1, и написать равенство
(3)справедливость которого тоже очевидна. Однако, как и в предыдущем примере, основная идея - это введение замен (подстановок). Запишем равенство
Его частными случаями являются равенства (2) и (3). В результате мы построили своего рода модель. Все что осталось сделать, — это исследовать ее, т.е. найти соотношение между а и b,при выполнении которого справедливо наше обобщенное равенство. А для этого надо провести простые преобразования:
, или 
, откуда 
.3. Классификация и систематизация
Классификация — общепознавательный прием, суть которого заключается в разбиении данного множества объектов на попарно непересекающиеся подмножества (классы) в соответствии с так называемым основанием классификации, т.е. признаком, существенным для рассматриваемых объектов. Систематизация - это объединение объектов или знаний о них путем выявления существенных связей между ними, установление порядка между частями целого на основе определенного закона, правила или принципа.