Статистические наблюдения (стр. 8 из 18)

Для оценки характера распределения используют следующие взаимосвязи:

1) среднее квадратическое отклонение при нормальном или умеренно деформированном распределении примерно в 1,25 раза больше линейного отклонения

2) коэффициент вариации (Variationskoeffizient, Coefficientofvariation) – это отношение среднего квадратического отклонения к средней

Здесь критическим значением выступает V = 35 %. Если V ≤ 35 %, то считаем, что наша совокупность однородна. Если V > 35 %, то совокупность разнородна и это автоматически накладывает ограничения на расчет средней (расчет просто не имеет смысла).

В нашем первом примере отношение σ/l =1,18 , т.е. распределение близко к нормальному, а V = 47 %, т.е. совокупность разнородна.

Свойства дисперсии. Правило сложения дисперсии

1) дисперсия постоянной величины равна 0

2) уменьшение всех значений признака на одну и ту же величину А не меняет дисперсии:

σ2(х - А) = σ2х

3) уменьшение всех значений признака в k раз уменьшает дисперсию в k2 раз, а среднее квадратическое отклонение – в k раз.

σ2(х / k) = σ2х : k2

σ(х / k) = σх : k

4) дисперсия равна средней из квадратов значений признака минус квадрат средней значений признака:

5)

дисперсия по средней есть величина минимальная, т.е. она всегда меньше дисперсии по любой из величин А на ( Х – А)2 :

- А)2

6) дисперсию, в отличие от среднего квадратического отклонения, можно собирать по частям и делить на части.

Существует так называемое правило сложения дисперсии, которое заключается в следующем:

δ² - межгрупповая дисперсия;

α² - средняя из внутригрупповых.

Межгрупповая дисперсия – это дисперсия, характеризующая влияние фактора, положенного в основу группировки. Ее расчет производится по следующей формуле:

Xi – средняя по каждой группе;

Xобщ – общая средняя;

m – количество групп.

Средняя из внутригрупповых дисперсий отражает влияние прочих факторов и определяется, как:

k – объем k-ой группы.

Исчисление среднеарифметической и показателей вариации для качественных (атрибутивных или номинально измеряемых) признаков

Наряду с вариацией количественных признаков может ставиться задача оценки вариации качественных признаков, например, при изучении качества продукции вся она делится на годную и бракованную.

В таком случае за эквивалент наличия признака (ответ "да") принимается 1, отсутствие признака обозначается 0 (ответ “нет”).

Общее число единиц совокупности примем за n, тогда число единиц совокупности, обладающих данным признаком, будет f, а число единиц, не обладающих данным признаком, будет (n - f).

Ряд распределения по качественному признаку представлен в табл. 5.2. таблице:

Таблица 5.2.

Пример ряда распределения по качественному признаку

Значение переменной	Частота
1	f
0	n-f
Итого	n

Тогда средняя арифметическая равна:

Фактически, это доля единиц, обладающих данным признаком. Соответственно, доля единиц, не обладающих данным признаком равна:

Так как p + q = 1, то для дисперсии альтернативного признака имеем:

На практике это означает, что дисперсия по альтернативным или качественно изменяющимся признакам подчиняется следующему правилу

Среднее квадратическое отклонение по альтернативному признаку:

Коэффициент вариации:

Пример. В результате контроля качества из 1000 готовых изделий 20 оказались бракованными. Нужно вычислить дисперсию и среднеквадратическое отклонение по данному номинально измеряемому признаку.

5.3 Свойства нормального распределения

Нормальное распределение возможно в том случае, когда на величину признака влияет большое число случайных причин, которые не зависят друг от друга и ни одна из которых не имеет преобладающего влияние над другими.

1) Кривая распределения симметрична относительно максимальной ординаты:

2) кривая нормального распределения имеет две точки перегиба х ±σ

3) В промежутках между:

Рис.5.2. Кривая нормального распределения

5.4 Моменты

Показатели вариации характеризуют ряд с точки зрения рассеивания, колеблемости значений признака. Ряд распределения, помимо рассеивания, может быть симметричным (асимметричным), остро- и плосковершинным. Универсальными характеристиками ряда распределения являются моменты (Momente, Moments) – средняя арифметическая тех или иных степеней отклонений значений признака от определенной исходной величины А.

Их общая формула:

Если А = 0, то момент называется начальным.

Если А = х, то момент называется центральным;

Если А = условной величине, то момент называется условным.

В таблице 5.3. представлены формулы моментов первых четырех порядков.

Таблица 5.3.

Начальные, центральные и условные моменты первых четырех порядков

Моменты распределения, порядка	Начальные	Центральные	Условные
Первого
Второго
Третьего
Четвертого

Большое значение имеют центральные моменты, обозначаемые μi.

Центральный момент 2-го порядка – это дисперсия:

С помощью центральных моментов 3-го порядка

исчисляются показатели симметричности (асимметричности) ряда. Так, если μ3 = 0, то ряд распределения симметричен, μ3 < 0, то ряд имеет левостороннюю асимметрию, μ3 >0, то у ряда правосторонняя асимметрия (см. рис.5.3).