экспромты» ?
Д – 16. Вы защитили свою докторскую диссертацию в 1963 году. Кто были по ней
оппоненты и где происходила её защита ?
А. На вопросы 10, 11, 12, 13 и 16 подробно отвечать не буду – кое-что об этом содержится в предыдущих ответах, а интересного добавить вроде бы нечего. Пожалуй, только одна фраза: когда за решение проблемы Гильберта кто-то предложил присудить сразу докторскую степень, то Колмогоров ответил: «А зачем ? Не надо – у него другие результаты прекрасно составят докторскую диссертацию на совсем другую тему».
И правда, в 1961 году, во время защиты кандидатской диссертации, у меня уже было немало результатов по той «теории КАМ», которая была защищена в 1963 как
докторская диссертация «Проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике». Например, работа с решением проблемы Биркгофа (об устойчивости эллип-тических неподвижных точек отображений плоскости на плоскость) была опублико-вана уже в 1961 году, а основные результаты об устойчивости планетных систем, опубликованные в 1962 году, уже были во время защиты 1961 года получены – только «диффузия Арнольда» добавлена в 1963 году, да и к этому открытию я был в 1961 году близок.
Д - 14. Когда появился на нашем факультете Ваш собственный спецсеминар ? Быстро ли он "оброс" студентами ? Легко ли Вы находили к ним свой подход ?
(примеч. Д.: здесь я также привожу сразу следующий вопрос, так как Владимир
Игоревич, по существу, дал объединённый ответ на оба эти вопроса).
Д – 15. Кто был Вашим 1 –м аспирантом ?
А. Ещё в студенческие годы я еженедельно вёл занятия («кружок») со школьниками, многие из которых стали впоследствии моими учениками на мехмате.
Помню, что Андрей Николаевич Колмогоров, будучи председателем оргкомитета очередной московской математической олимпиады, рассказал мне, как происходило награждение одного из моих учеников. Рядом с Андреем Николаевичем сидела дама из Гороно, и на неё вид этого призера произвел особое впечатление. «Как приятно, - сказала она, - что первую премию на московской математической олимпиаде (это была целая связка чудесных книг, вроде «Что такое математика» Куранта и Роббинса, «Числа и фигуры» Радемахера и Теплица, «Наглядная геометрия» Гильберта и Кон-Фоссена, «Задачи из анализа» Полиа и Сеге) получает простой деревенский школьник: вот, он учится в школе деревни Хотьково !» Колмогоров не стал ей объяснять, что Андрей Леонтович, действительно имевший вполне деревенский вид, живёт в соседнем с Хотьковым академическом посёлке Абрамцево, а его отец – академик Михаил Александрович Леонтович (впрочем, навещавшим Михаила Александровича в деревне профессорам приходилось иногда подолгу ждать его, так как «академик пошёл выгонять корову», но это было не в Хотькове, а на Москве-реке у Кремешни, напротив Тучкова).
В сочинениях Колмогорова есть работа (о площади окрестности траектории
Броуновского движения), про которую редакция сообщает: «У этой работы 2 автора,
математик и физик, и две части – физическая и математическая. Читателя следует
предупредить, что математическую часть написал физик, а физическую – математик».
Точно такое же примечание сопровождает эту статью и в сочинениях Михаила Александровича Леонтовича: он лучше Колмогорова считал интегралы (преобразуя контуры интегрирования на римановых поверхностях, т.е. используя теорию Пикара-Левшеца выявления абелевых интегралов), но физические приближения асимптотик, сводящие вопрос о Броуновских траекториях к интегралам, придумал Колмогоров.
Андрей Леонтович был одним из первых моих аспирантов – он сделал много замечательного, и, в частности, им написаны современные комментарии к одной математической теореме ученика моего отца, Андрея Дмитриевича Сахарова. Андрей Дмитриевич так полюбил математику, что сделал впоследствии десятки матема-тических открытий, а после его смерти меня попросили их комментировать (при издании тетрадки, куда он, ничего не публикуя, записывал свою математику).
Теорема, которую комментировал Андрей Леонтович – о рубке капусты. Жена попросила Андрея Дмитриевича порубить осенью качаны капусты для шинкования. Он пишет, что кочан режется сначала на горизонтальные круговые слои, а затем каждый такой круг кладется на стол и рубится на мелкие кусочки случайным ударом ножа.
Занимаясь этой утомительной физической работой, Андрей Дмитриевич не мог не думать, а потому задал себе вопрос: некоторые кусочки – треугольники, некоторые – пятиугольники (встречаются всевозможные выпуклые многоугольники). А сколько вершин у такого многоугольника в среднем?
Посчитав свои кусочки, Андрей Дмитриевич пришел к выводу, что среднее равно четырём. Впоследствии оказалось, что он был не первым, кто исследовал этот вопрос статистической геометрии: уже в 1852 году немецкий геометр Шлэфли в своей диссертации решил аналогичную задачу, даже для n-мерной капусты. А именно, он доказал, что для получающихся n-мерных выпуклых многоугольников среднее число k-мерных граней такое же, как число k-мерных граней n-мерного куба.
Например, в обычном трехмерном пространстве среднее число граней кусочка равно 6, среднее число вершин равно 8 и среднее число ребер равно 12. При этом сами кусочки вовсе не похожи на кубики или параллелепипеды: ведь эти средние достигаются не на одном и том же кусочке, так что у типичного кусочка вовсе не обязательно (6,8,12) граней размерностей (2, 0, 1).
Кроме школьного кружка 1950-х годов (где моим учеником был ещё, например, Андрей Николаевич Тюрин, ставший после поступления в университет учеником Игоря Ростиславовича Шафаревича, но продолжавший ходить на мой семинар и впоследствии, до своей недавней безвременной смерти, он стал замечательным алгебраическим геометром и работал в МИАН), я стал в 1963 году, по просьбе А.Н. Колмо-горова, преподавать в созданном им в Давыдкове Интернате (№ 18) для одарённых математически школьников.
Мои лекции 1963-1964 года были позже изданы одним из слушателей (они доставляли школьникам, в виде серии задач, топологическое доказательство теоремы Абеля о неразрешимости общих уравнений степени 5 в радикалах, причём в процессе решения этих задач мои ученики больше узнавали о группах и о римановых поверхностях, комплексных числах и спинах, косах и кубах Кеплера (вписанных им в додекаэдр), монодромии и разветвлённых накрытиях, разрешимых группах и релятивистских идеях, чем дают любые университетские курсы).
Из моих замечательных учеников этого класса школы-интерната № 18 Н.Нехорошев стал специалистом по теории гамильтоновых систем и небесной механике, С. Воронин и Г. Архипов – по теории чисел, В. Алексеев – по компьютерам, а вначале в эту группу входил еще и вернувшийся затем в Ленинград Ю. Матиясевич (доказавший, в частности, алгоритмическую неразрешимость диафантовых уравнений высокой степени).
Одновременно начался и студенческий семинар – причём, школьники иногда бывали и там. Впрочем, среди активнейших участников моего студенческого семинара на мехмате были и такие замечательные математики, как В.М. Алексеев и Я.Г. Синай, Д.В. Аносов и С.П. Новиков, А.Г. Хованский, А.Н. Тюрин и Г. Н. Тюрина, Д.Б. Фукс и Д.А. Каждан, Г. Маргулис, А. Каток, А Стёпин и т.д. – полный список слишком длинен, а обзор, в каком году кто что сделал, можно извлечь из сборника «Задачи Арнольда», где изданы задачи семинара за примерно полвека. Ю.И.Манин и А.А.Кириллов, И.И.Шапиро-Пятецкий и М.Л.Лидов постоянными членами семинара не были, но их работы занимали в нём большое место.
В начале каждого семестра я формулировал пару десятков задач, которые участники семинара затем решали – период полураспада задачи (после которого она на 50% решена) составил, по многолетним наблюдениям, в среднем 7 лет, так что даже некоторые из задач 60-х годов и сегодня остаются нерешёнными. В других случаях решения задач семинара стали сегодня знаменитыми теориями. Например, теория «Систем Аносова» является замечательным развитием контрпримера Аносова к ошибочному решению одной из задач семинара (опубликованному с этой ошибкой в статье Арнольда с Синаем в 1963 году).
Никакого «подхода» к студентам я не находил – просто формулировал интересующие меня вопросы. При этом я не считал нужным рекомендовать определенному студенту определённую задачу. Пусть выбирает себе сам, это – как выбор невесты сыну !
Что из этого вышло – судить лучше ученикам, а не мне. Их мнение изложено в статье «Владимир Игоревич Арнольд глазами учеников» в «Трудах МИАН», том 259, 2007, стр. 5-9.
Д - 17. В 1965 году Вы стали уже профессором Мехмата МГУ. И в том же году поехали на годичную научную стажировку во Францию (в Сорбонский университет), где занимались под руководством Жана Лере.
Показалось ли Вам что-нибудь «необычным» в общении во Франции «шефа» с подопечными стажёрами по сравнению с тем, как это происходит у нас ?
А. Лере сразу сказал мне: «Хоть ты мне и студент, требовать я от тебя буду не сдавать экзамены, а читать лекции (о теории динамических систем, у нас почти не известной, хотя основал её и Пуанкаре – ведь продолжатели Пуанкаре живут, в основном, в России !)»
Слушатели этого семестрового курса лекций включали много академиков. Помню участие Лере и Шварца, А. Картана и М. Фреше, Серра, Тома и Лихнеровица, Годемана и Дуади, и даже Данжуа, рассказавшего мне, как Пуанкаре принимал у него аспирантский экзамен во время еженедельного «чая математиков»: «Мы мешали чай с лимоном ложечками в своих чашках у вот этой доски, как мешаем сейчас с тобой, и я говорил: «а это слагаемое получается в формуле в верхнем правом углу доски из этой формулы в левом нижнем» и показывал ногой, так как руки были заняты, а гимнастом я тогда был лучшим, чем сейчас, в 90 лет». Других учеников у Пуанкаре во Франции, видимо, не было.
Один из профессоров-слушателей, Андре Авец, записал мои лекции 1965 года и издал их в виде книжки: Arnold and Avez « Ergodic Problems of Classical Mechanics».
В это время я сформулировал уже «гипотезу Арнольда» (о неподвижных точках симплектоморфизмов, и о пересечениях лагранжевых многообразий) в основанной мною около 1960 года симплектической топологии – эта гипотеза до сих пор не доказана, несмотря на многие сотни посвященных ей работ, доказывающих её ослабленные версии.