И. Р. Шафаревич (стр. 8 из 40)

а) по Математическому анализу,

б) по Алгебре,

в) по Аналитической геометрии ?

Этот же вопрос я обращаю и к Вам.

А. Анализ читал Лев Абрамович Тумаркин, алгебру – Евгений Борисович Дынкин, аналитическую геометрии – Павел Сергеевич Александров.

Лекции Льва Абрамовича я и сейчас вспоминаю с удовольствием. Хотя он сам и был менее крупным по своим личным открытиям математиком, чем другие лекторы (а ведь рядом такие же лекции читал Александр Яковлевич Хинчин), его лекции были удивительно богатыми (не всеми оцениваемой информацией).

По-видимому, он просто добросовестно излагал классические французские курсы типа (трехтомного) учебника Гурса - а ведь в них было много такого, чего в «более современном» изложении из анализа вычеркнули (хотя кое-что восходило и к «Введению в анализ бесконечно малых» Эйлера, который я тоже очень полюбил на первом курсе).

Вот пример: Тумаркин (говоря о теореме о неявной функции) рассказал первокурсникам, что алгебраическое уравнение степени n

задает алгебраическую кривую на проективной плоскости CP², комплексные точки которой (включая бесконечно удаленные) образуют поверхность, диффеоморфную (как вещественное многообразие) сфере S² c g ручками. Число g («род» римановой поверхности кривой) для гладкой поверхности выражается через степень n формулой

(при степенях n равных 1 и 2 поверхность сферична).

Если же есть особые точки, то их число не превосходит указанного числа (даже с учётом их кратностей), а род поверхности уменьшается на число особых точек.

Если риманова поверхность сфера, то любой интеграл от рациональной функции R

берётся в элементарных функциях. Например, это всегда так при n = 1 и 2, причём интегралы тогда берутся уже при помощи таблиц Ньютона или «подстановок Эйлера».

Если же поверхность не сфера, то существуют такие рациональные функции R, что интеграл через элементарные функции от x не выражается. Например, это так, когда риманова поверхность – тор, как для интеграла

называемого эллиптическим, g = 1.

Кроме того, если кривая рода g = 0 вещественна, то всю её можно нарисовать (на проективной плоскости) одним росчерком пера, не отрывая его от бумаги. Например, это так для случая n = 2.

Гипербола тоже рисуется одним росчерком, а не двумя: около бесконечно-удалённой

проективной прямой в RP² картинки таковы:

Напротив, эллиптическая кривая y² = x³ + ax + b в RP² может состоять из одной или из двух компонент связности (даже если она гладкая и её комплексные точки образуют тор, g = 1)

Вдобавок, из того, что риманова поверхность окружности y² + x² = 1 есть сфера (то есть комплексная проективная прямая CP¹), сразу видно, как найти все «египетские треугольники», имеющие катеты и гипотенузы целых длин (3²+4²=5², 12²+5²=13²и т.д.)

Для этого проведем через точку А (x= -1, y=0) на окружности прямую y=t(x+1) наклона t (t=tg φ/2 при φ=arg(x+iy)). Одна из точек пересечения этой прямой с окружностью, нам известна – это А. Подстановка y из уравнения прямой в уравнение окружности дает для x квадратное уравнение. Зная один из его корней (x = -1 в точке А), находим (по теореме Виета) второй:

x² + t² (x² + 2x + 1) = 1 Þ x²(1 + t²) + 2t²x + ( t² - 1) = 0 Þ

Числа x и у рациональны если и только если t рационально. А если t = u/v (с целыми

u и v), то

и числа

составляют (любой) египетский треугольник:

Эти странички из лекции Тумаркина доставляют первокурсникам, например, следующие 11 вещей:

- ясное понимание проективной геометрии кривых;

- понятие римановой поверхности алгебраической кривой;

- понятие топологического рода g поверхности;

- формулу («Римана-Гурвица») для рода (вместе с желанием доказать её);

- понятие абелева интеграла:

- элементарность абелевых интегралов рода 0;

- неэлементарность эллиптических (и других) абелевых интегралов;

- геометрический смысл подстановок Эйлера;

- рациональность кривых рода 0;

- связь рациональности кривых с явной разрешимостью диофантовых уравнений;

- уникурсальность вещественных алгебраических кривых (и неуникурсальность, например, левой кривой хотя правая и уникурсальна).

Все эти многообразные связи разных областей математики (вплоть до логики и теории чисел с одной стороны, топологии и элементарного интегрирования – с другой) скрываются за простыми примерами скучнейших интегралов, в которых можно часами упражняться, вовсе не понимая красоты огромного мира идей десятка выделенных выше теорий, осознание тесной связи которых между собой само является, быть может, самым ярким вкладом описанной выше лекции Тумаркина в воспитание его слушателей.

Я с сожалением должен заметить, что десятки более «современных» курсов анализа проходят мимо всего этого богатства классического материала (боюсь, что из-за того, что сами лекторы им не владеют). Некоторые из моих сверстников пытаются оживить сложившиеся традиции скучных курсов. Но, к сожалению, иногда и они уступают классическому совершенству стиля Гурса и Тумаркина.

Например, я встречал рассуждение такого типа: «Площадь Мадагаскара в 10 раз больше площади Сицилии. Величина площади имеет размерность квадрата линейного размера. Следовательно (согласно П-теореме классической статфизики) жители Мадагаскара в среднем в

раза выше жителей Сицилии».

Евгений Борисович Дынкин в своем курсе лекций по алгебре явно следовал школе Ландау. Например, типичная его лекция начиналась со слов: «В прошлый раз мы рассматривали чётные и нечётные перестановки. Девушка в третьем ряду, слева, в красном платье – ответьте, пожалуйста, перестановка (3, 2, 1) цифр 1, 2, 3 – чётная она или нечётная?».

Как это ни странно, сейчас я вижу, что он многого сам не понимал как следует в той элементарной и линейной алгебре, которую нам преподавал (и которую он обогатил своими замечательными теоремами, например, в теории групп и алгебр Ли).

Например, это относится к «теории параллелограмма Ньютона», которую Ньютон называл «своим главным вкладом в математику, доставляющим решения всех её уравнений – и алгебраических, и дифференциальных и интегральных», или к «правилу знаков» Декарта (оценивающим число вещественных корней системы многочленов числом ненулевых коэффициентов этих многочленов), или к «характеристике Штурма» пары вещественных многочленов (перенесенной Кронекером на наборы n + 1 вещественного многочлена от n вещественных переменных) – связи всего этого с вещественной алгебраической геометрией (и её – с квантовой теорией поля) – явно не были известны нашему лектору.

Зато для подготовки к экзамену Евгений Борисович приготовил нам десятки задач, некоторые из которых хотелось решать.

Формулируя эти задачи, он заметил: «вот, задачу 18 я и сам решать не умею – если кто-нибудь из вас её решит, сообщите мне об этом на консультации перед экзаменом, это ведь будет новый научный результат!»

К указанной консультации задачу решили двое – В.И. Арнольд и А.А. Кириллов. Рассказанные ими решения были совершенно разными: у меня – скорее, топологические, а у Кириллова – скорее, алгебраические рассуждения.

Я помню, что Евгений Борисович сразу же заподозрил моё геометрическое решение в несамостоятельности. Он стал (публично) задавать мне вопросы о соотношении моих идей с понятиями индекса векторного поля и степени гладкого отражения, с гомологиями и гомотопиями. Я никаких этих терминов и понятий не знал, понимал вопросы с трудом – придумал всё совершенно независимо от каких-либо теорий, а Евгений Борисович пытался уличить меня в плагиате. Минут через десять он понял, что ничего я заранее не знал и не использовал, что никто мне не помогал. Тогда он предложил нам написать (в Успехи математических наук) совместную статью, с обоими доказательствами. Так возникла моя первая научная работа.