Будучи в старших классах я много занимался спортом, играл в футбол в юношеской сборной команде «Зенит» в Калининграде. Было также фигурное катание и танцы с балетными элементами (я был весьма гибким, легко делал шпагат и разного рода пируэты, моя инструктор Светлана Николаевна, работавшая в Большом театре, пристроила меня даже однажды потанцевать в кордебалете в двух представлениях «Щелкунчика»).
2. Итак, в 1952 году я поступил на мехмат. Все мое окружение – родители, родственники, воспитатели в интернате – было «нематематическим». Так что выбор мехмата был моим собственным решением без чьего-либо совета.
Наш курс был первым послевоенным курсом, у которого набор был увеличен (под новое здание на Ленгорах) в два потока. С Я. Синаем мы оказались в одной группе. С этого времени мы стали близкими друзьями.
Курсовые работы в наше время начинались на 2-м курсе. Я выбрал кафедру дифференциальных уравнений, и работу я писал у С.А. Гальперна, а фактически у Н.Д.Введенской, по асимптотическим свойствам уравнения Риккати. Впоследствии я перешел на кафедру теории вероятностей, на которой в то время были спецгруппы с большой дополнительной программой по алгебре, конечным разностям, вычислительным методам и др. В нашей группе было более тридцати ребят, многих из которых уже, к сожалению, нет.
Понимая, что надо ходить на спецсеминары и слушать спецкурсы, я стал ходить на некоторые, которых на мехмате всегда было много. Одним из таких семинаров был известный семинар И.М. Гельфанда, где тогда основной темой были обобщенные функции. Атмосфера этого семинара была захватывающей, но в то же время оказывалась пугающей (не только для студентов) по характеру его ведения Израилем Моисеевичем. В то же время занятия в спецгруппе требовали много времени и на их посещение, и на выполнение домашних заданий.
На четвертом и пятом курсах моим руководителем стал Р.Л.Добрушин. Я посещал его лекции и семинар, и он предложил мне в качестве дипломной работы тему, связанную с отысканием условий справедливости центральной предельной теоремы для сложных цепей Маркова. В характеристике, подписанной деканом механико-математического факультета А.Н. Колмогоровым сказано: «С 4-го курса Ширяев А. начал под руководством Добрушина Р.Л. заниматься теорией вероятностей. Предметом его изучения были неоднородные сложные цепи Маркова. Ему удалось дать оценку для дисперсии сумм случайных величин, связанных в сложную цепь Маркова, что представляет собой существенное продвижение на пути к доказательству центральной предельной теоремы для таких цепей. В текущем учебном году (на пятом курсе) Ширяев А. показал, что предельное распределение, если оно существует, обязано быть безгранично делимым».
В Университете у меня появилось одно из моих постоянных спортивных увлечений – горные лыжи. Тренер университетской секции Ю.М. Анисимов как-то наблюдал меня, когда я катался на фигурных коньках. Тогда он и предложил заняться горными лыжами, о которых тогда у меня не было никакого представления. Да и вообще этот вид спорта был малоизвестен. Были секции (помимо МГУ) в МВТУ, МАИ, «Буревестнике», «Труде». С инвентарем было совсем плохо, в гору ходили ногами, а подъемники мы стали делать сами, используя мотоциклетные движки и т.п.
В горных лыжах я прогрессировал довольно-таки быстро – сказалась моя хорошая легкоатлетическая подготовка и развитая гибкость, что оказалось важным при прохождении слаломных дистанций по разбитым трассам с большим количеством ям. В 1957 году я, как имеющий хорошие московские достижения в слаломе, был включен участником 2-й зимней Универсиады в Гренобле. В горных лыжах нас было всего двое – С. Суворов из МВТУ и я, общее число участников 42 – по 2 от 21 страны. Результаты у нас были такие – 4 и 7, и 7 и 4 – в слаломе и слаломе-гиганте. Все первые места были завоеваны французами, австрийцами и швейцарцами, у которых и снаряжение, конечно, было лучше (отдельные лыжи для слалома и слалома-гиганта, у нас же – только одна пара лыж), и тренировочных возможностей больше.
3. С результатами дипломной работы я выступал на семинаре А.Н. Колмогорова, который дважды затем меня приглашал в Комаровку для математических разговоров. Когда пришло время распределения, Андрей Николаевич сказал, что хотел бы взять меня сотрудником к нему в Отдел теории вероятностей в Математическом институте Академии Наук, добавив при этом, что я «должен решить»: наука или спорт. (Он знал о моих серьезных занятиях горными лыжами.)
Итак, с 1 сентября 1957 года я и мой сокурсник Витя Леонов стали сотрудниками (старшими лаборантами с окладом в 98 рублей) Математического института.
Андрей Николаевич нам сразу поставил там несколько задач, работа над которыми привела к появлению нашей работы «К технике вычисления семиинвариантов» (Теория вероятностей и ее применения, 1959, т. 4, в. 3), а также ряда работ по спектральной теории старших моментов и применений к нелинейному анализу случайных процессов.
4. Переломным моментом в моей научной деятельности стал конец 1958 года. Где-то в это время Андрей Николаевич имел разговор с академиком Юрием Борисовичем Кобзаревым – лидером советской радиолокационной науки и создателем ряда систем локаторов. В этом разговоре Кобзарев затронул следующую важную проблему, связанную со случайно появляющимися «целями». Он отмечал, что при создании систем обнаружения сигналов, скрытых в шумах, обычно исходят из предположения, что имеют место две гипотезы: «присутствует лишь только шум» или «с самого начала наблюдения присутствует и шум, и сигнал от цели». Относительно различения этих двух гипотез известны два метода – метод Неймана-Пирсона и метод Вальда. В первом методе при заданных ошибках «ложной тревоги» и «ложного спокойствия» определялось то минимальное детерминированное время наблюдения, которое обеспечивало получение заданных ошибок. В методе Вальда длительность наблюдения допускалась быть случайной. Удача Вальда состояла в том, что он открыл, что для случая независимых однородных наблюдений есть метод, который при заданных ошибках «ложной тревоги» и «ложного спокойствия» минимизирует одновременно математические ожидания длительностей наблюдения по каждой из рассматриваемых гипотез.
Вопрос, поставленный Кобзаревым, заключался в следующем: как сформулировать задачу обнаружения, когда цель может появляться в заранее неизвестный, случайный момент времени?
Андрей Николаевич объяснил мне в чём задача и сказал, что я буду теперь ею заниматься в качестве основной темы моей работы в МИАНе. Этой работе был придан закрытый характер, поскольку предполагалось общение со специалистами по радиолокации и посещение закрытых организаций.
Было проведено много встреч, в результате которых постепенно стала вырисовываться картина того, что хотели бы эксперты, какая формулировка задачи обнаружения случайно появляющейся цели их удовлетворила бы. Своеобразие рассматриваемой проблемы заключалось еще и в том, что после подачи сигнала тревоги процесс наблюдения не завершался, а возобновлялся. Иначе говоря, процесс наблюдения носил многоступенчатый характер. В такой схеме не сразу было ясно, как описать случайный момент появления цели. После долгих дискуссий и с помощью Андрея Николаевича стало ясно, что «цель» появляется на «фоне установившегося стационарного режима наблюдения».
При этом допущении вырисовывалась такая постановка задачи скорейшего обнаружения – при заданном среднем времени Т между двумя ложными тревогами надо найти такую систему обнаружения, приводящую к установившемуся стационарному режиму, для которой среднее время запаздывания R(T) в обнаружении цели, появляющейся на фоне этого режима, было бы минимальным. (Для наиболее естественных моделей сигналов и шумов R(T) имеет при больших Т, с точностью до констант, порядок log T).
5. Решение этой новой вероятностно-статистической задачи оптимального управления потребовало создания новых методов стохастического анализа. Именно тогда мы стали развивать теорию оптимальных правил остановки, нелинейную фильтрацию, управление в случайных процессах по неполным данным.
Задачи скорейшего обнаружения, которые мы стали называть «задачами о разладке», получили широкое распространение, и до сих пор печатаются работы об оптимальности «метода Ширяева-Робертса», о «процессе Ширяева», являющегося оптимальным во многих постановках задач скорейшего обнаружения (например, в обобщенной байесовской постановке).
При работе над этими задачами стала ясна особая роль мартингалов как того класса случайных процессов, которые учитывают зависимость от «прошлого». Затем пришла очередь семимартингалов – обширного класса случайных процессов, для которого теперь развито так называемое стохастическое исчисление.
Совместно с моим учеником Робертом Липцером мы написали две книги – «Статистика случайных процессов» (1974 г.) и «Теория мартингалов» (1986). С Жаном Жакодом мы написали книгу «Limit theorems for stochastic processes» (1987), которая была переведена и на русский язык (1994). Эта книга, хотя и называется «Предельные теоремы…», содержит несколько глав, посвященных теории семимартингалов. Этот материал стал по существу каноническим изложением этой теории, и так случилось, что она оказалась особо востребованной в стохастической финансовой математике, о чем мы скажем далее.
В указанных областях стали работать многие мои ученики. Пять лет назад А.Новиков и Ю.Кабанов составили список моих учеников, у которых я был руководителем диссертаций: в этом списке сейчас 58 кандидатов наук, из которых 30 стали докторами.
Сначала, в шестидесятых годах, я один на мехмате вел спецсеминар по названным темам. Затем этот семинар сильно разросся, и его руководителями помимо меня стали Н. Крылов и Р. Липцер. После отъезда многих, в том числе и их, семинар прекратился, но в настоящее время у меня на кафедре теории вероятностей появились ученики, которые образуют костяк нового, обновленного семинара по стохастическому анализу.