Современные информационные технологии используются в медицине. Сбор и анализ диагностических данных позволяет провести своевременную диагностику заболеваний. Например, компьютерный томограф является примером того, как использование математических методов обработки больших массивов данных позволило получить качественно новый медицинский инструментарий.
Здесь изложены основные подходы к построению и анализу математических моделей, общие для различных областей знания, не зависящие от конкретной специфики. Окружающий людей мир един, что проявляется, в частности, в универсальности математических моделей, в использовании одних и тех же математических конструкций для описания различных явлений и объектов. Указаны общие черты вычислительного эксперимента с теоретическими и экспериментальными методами в научных исследованиях. Ниже приводится краткое описание различных типов вычислительного эксперимента. Вычислительный эксперимент рассматривается как наиболее высокая ступень математического моделирования, порожденная преобладающим использованием компьютеров и численных методов для изучения математических моделей.
Математизация научного знания, под которой понимается применение математических понятий в естественных и гуманитарных науках, технике, является приметой нашего времени. Часто и уровень развития той или иной науки характеризуется по степени использования математических методов. Известный афоризм "Во всяком знании столько науки, сколько в ней математики" отражает это мнение.
На эмпирическом уровне развития науки описываются наблюдаемые явления, проводятся опыты, собираются и классифицируются экспериментальные данные. Для теоретического уровня характерно введение новых абстракций и идеализаций, понятий, формулировка основных законов, образующих ядро теории. При этом достигается целостный взгляд на исследуемый объект, дается единое истолкование всей совокупности экспериментальных данных.
Большая эвристическая роль теории проявляется в том, что она позволяет предсказать новые, ранее не известные характеристики объекта, явления или процесса. История развития науки содержит блестящие иллюстрации этого: открытие Нептуна, открытие позитрона и т.д. Математические идеи и методы служат не просто математическими украшениями, а действенными средствами количественного и качественного анализа.
Различные науки имеют разный уровень математизации. Для наук, в которых превалирующее значение имеют качественные математические модели, характерен невысокий (более точно, относительно невысокий) уровень математизации. Степень математизации можно характеризовать по тому, какие математические модели используются и насколько широко. Например, применение математики в механике базируется на использовании систем уравнений с частными производными. Причем такие математические модели используются не от случая к случаю, а во всех разделах механики, таких как теория упругости, гидро- аэродинамика и т.д. Большой уровень математизации характерен и для физики, хотя в различных ее разделах математические методы пока используются в разной степени.
В настоящее время отмечается все возрастающий уровень математизации химии. Например, химическая кинетика базируется на системах обыкновенных дифференциальных уравнений, химическая гидродинамика - на уравнениях в частных производных и т.д. Повышается и уровень математизации биологии. В этой связи достаточно сослаться на классические работы В.Вольтерра по моделированию системы хищник - жертва, выполненные еще в начале двадцатого века.
Мы являемся свидетелями все более широкого использования математических идей в экономике, истории и других гуманитарных науках. Процесс математизации наук идет чрезвычайно быстро благодаря опыту, накопленному при математизации механики и физики, благодаря достигнутому уровню развития самой математики. Применение математики в химии и биологии в большой степени базируется на уже разработанном ранее математическом аппарате. Поэтому темпы математизации этих наук в значительной степени сдерживаются только уровнем развития самой химии, самой биологии. Здесь важное значение имеет и психологический фактор боязни математики. Без развития экспериментальных и теоретических исследований существенное продвижение за счет только математических методов невозможно. Успешное применение математических методов требует прежде всего глубокого овладения содержанием исследуемого процесса или явления, необходимо быть прежде всего специалистом в прикладной области, а потом уже математиком.
Единство природы проявляется в том, что для описания различных физических, химических, биологических и т.д. процессов и явлений применяются одни и те же математические модели. Это свойство конечного числа математических моделей отражает прежде всего их абстрактность. Одно и то же математическое выражение (понятие) может описывать совершенно различные процессы, характеристики. Так например, уравнение Лапласа описывает движение несжимаемой жидкости в гидродинамике, электростатическое поле вне заряженных тел, стационарное тепловое поле, прогиб мембраны в теории упругости и т.д. Как отмечал А.Пуанкаре "Математика - это искусство давать разным вещам одно наименование". Это позволяет, в частности, при исследовании одного конкретного явления или процесса использовать результаты, полученные при исследовании другого явления или процесса. В такой общности, единстве математических моделей проявляется интегрирующая роль (ее наддисциплинарный характер) математики, ее методов.
1.3 Использование математических моделей
При математизации научных знаний выделяется этап абстрагирования от конкретной природы явления, идеализации и выделения его математической формы (строится математическая модель). Именно абстрактность математической модели порождает определенные трудности для ее применения к описанию конкретного явления или процесса. Сейчас, благодаря накопленному опыту, процесс идеализации, абстрагирования проходит значительно спокойнее и быстрее в различных науках.
Вторым этапом математизации является исследование математических моделей как чисто математических (абстрактных) объектов. С этой целью используются средства самой математики как уже созданные, так и специально построенные. В настоящее время большие возможности для исследования математических моделей предоставляют вычислительные средства: компьютеры и численные методы.
Третий этап применения математики в прикладных исследованиях характеризуется интерпретацией - приданием конкретного прикладного содержания математическим абстракциям. Специалист по прикладному математическому моделированию, работая бок о бок со специалистами в прикладной области, всегда за математическими абстракциями видит конкретное прикладное содержание.
Математические модели могут изучаться в традициях чистой математики. В этом случае математические модели изучаются сами по себе, без какой-либо связи с прикладным содержанием. Они исследуются на принятом в математике уровне строгости, что обеспечивает им универсализм и необходимую общность. Здесь уместно сослаться на мнение крупных математиков: Д.Гильберта, А.М.Ляпунова и др. Эта точка зрения сводится к следующему. После математической формулировки прикладной проблемы ее нужно рассматривать на уровне чистой математики. Несомненно, что исследование математических моделей является одним из самых мощных стимулов развития самой математики.
Эвристическая роль математического моделирования проявляется в том, что вместо натурного эксперимента проводится математический эксперимент. Вместо исследования проявления того или иного воздействия на исследуемый объект используется параметрическое изучение математической модели, устанавливается зависимость решения от того или иного параметра. Такой эксперимент, дополняя натурный, позволяет значительно глубже исследовать явление или процесс.
1.4 Аналитические методы исследования математических моделей
Качественное исследование начинается с размерностного анализа задачи. Приведение задачи к безразмерному виду позволяет сократить число определяющих параметров задачи. Выделение малых или больших безразмерных параметров дает возможность в ряде случаев существенно упростить исходную математическую модель, учесть особенности задачи при разработке численных методов ее решения.
Сама математическая модель может быть достаточно сложной, нелинейной. Это зачастую делает невозможным ее качественное исследование традиционными методами прикладной математики. Именно поэтому в громадном большинстве случаев проводиться качественное исследование на более простых, но обязательно содержательных, по отношению к исходной математической модели задачах. В этом случае мы должны говорить о модельных (упрощенных) задачах для основной математической модели (моделей для модели). Так например, особенности модели потенциального течения с дозвуковыми и сверхзвуковыми подобластями течения в плане качественного исследования передаются уравнением Трикоми, которое в математической физике относится к классу уравнений смешанного типа.
Большое внимание при качественном исследовании математических моделей (или модельных задач для них) уделяется вопросам корректности. Прежде всего рассматривается проблема существования решения. Соответствующие строгие результаты (теоремы существования) дают уверенность в корректности математической модели. Кроме того, конструктивные доказательства теорем существования могут быть положены в основу приближенных методов решения поставленной задачи.