При прикладном математическом моделировании важным является вопрос об устойчивости решения относительно малых возмущений входных данных. Неустойчивость (неограниченный рост решения при малых возмущениях) наиболее характерна для обратных задач и должна учитываться при построении приближенного решения.
Для нелинейных математических моделей может быть характерна множественность, неединственность решения. При качественном исследовании математических моделей изучаются точки ветвления, бифуркации решения, вопросы выделения нужного искомого решения и т.д.
Методы качественного исследования для различных типов математических моделей разработаны с неодинаковой полнотой. Среди моделей, где качественные методы принесли наиболее впечатляющие результаты, отметим обыкновенные дифференциальные уравнения. В теории уравнений с частными производными качественные методы также используются, хотя и не в такой большой степени. В качестве содержательного примера отметим принцип максимума для параболических и эллиптических уравнений второго порядка, который позволяет провести качественное исследование математических моделей, основанных на уравнениях с частными производными.
Точное или приближенное решение находится с использованием аналитических и численных методов. В этой связи среди классических примеров аналитических методов отметим методы разделения переменных, интегральных преобразований для линейных задач математической физики.
Для нелинейных математических моделей особое значение имеют методы линеаризации, различные варианты методов возмущений. Теория возмущений базируется на использовании асимптотических разложений по выделенному малому параметру. Особое внимание этим методам, несмотря на их ограниченность, уделяется при рассмотрении сингулярно возмущенных задач.
Качественное поведение решения нелинейной задачи может хорошо передаваться некоторыми частными решениями. Поиск частных решений нелинейных задач основывается на использовании автомодельных переменных, на результатах группового анализа уравнений, лежащих в основе математической модели.
Сложные нелинейные многопараметрические модели могут быть исследованы на компьютере численными методами. В отличие от аналитического решения, которое может давать явную параметрическую зависимость решения от тех или иных условий задачи, при численном решении требуется многократное решение задачи при изменении того или иного параметра. Но ведь численное решение может быть получено и для тех задач, для которых аналитического решения нет.
Перейдем теперь к характеристике основных этапов использования компьютеров при математическом моделировании. Мы будем основное внимание обращать на использование вычислительных средств при нахождении приближенного решения задачи. Необходимо однако отметить и возможности применения компьютеров и на этапе качественного исследования математической модели, этапе отыскания аналитических решений модельных задач. Например, компьютер можно использовать для нахождения автомодельных решений. При выделении автомодельной переменной исходная задача для уравнения в частных производных сводится, например, к обыкновенному дифференциальному уравнению, происходит понижение размерности. Общее решение последнего находится на основе использования систем аналитических вычислений на компьютере (методов вычислительной алгебры), широко представленных в современных математических пакетах.
В применении компьютеров при математическом моделировании можно выделить, по крайней мере, два этапа, два уровня. Первый из них характеризуется исследованием достаточно простых математических моделей. На этом этапе (уровне) применения компьютеров вычислительные средства используются наряду и наравне с другими методами (чисто математическими) прикладной математики.
Выделенный этап применения компьютеров при математическом моделировании характеризуется условной цепочкой заказчик (теоретик) - исполнитель (прикладной математик). Заказчик ставит задачу, анализирует результаты, а исполнитель обеспечивает решение задачи с применением компьютеров. В этом случае речь идет о решении конкретной (достаточно узкой) задачи с определенным набором входных данных.
Для этого уровня применения компьютеров в прикладном математическом моделировании характерен лозунг Р.Хеминга: "Цель расчетов - понимание, а не числа". Это отражает традиции работы заказчика-теоретика, который больше всего ценит качественный анализ. Для современного этапа научных исследований и разработок одного понимания мало. Для выхода на эксперимент, реальную конструкцию требуются точные количественные зависимости и характеристики.
Второй этап (уровень) применения компьютеров характеризуется исследованием сложных нелинейных математических моделей. В этих условиях вычислительные средства становятся основными, абсолютно преобладающими. Традиционные средства прикладного математического моделирования выполняют вспомогательную, обслуживающую роль (качественное исследование задачи в сильно упрощенных постановках - модельные задачи, тестирование вычислительных алгоритмов и т.д.).
Именно возможность исследования сложных математических моделей на основе численных методов и компьютеров позволяет с новых позиций рассмотреть методологию научных исследований. Мощные компьютеры, высокоэффективные вычислительные алгоритмы, современное программное обеспечение позволяют в настоящее время организовать научные исследования в рамках единой технологии вычислительного эксперимента, который включает в себя теоретические и экспериментальные исследования.
1.6 Обработка экспериментальных данных
Экспериментатор, в самой общей схеме своего исследования, воздействует на исследуемый объект, получает информацию о результатах этого воздействия и обрабатывает ее. Эти данные зашумлены случайными погрешностями измерений. В силу этого при первичной обработке экспериментальных данных основной математический аппарат базируется на теории вероятностей и математической статистике. Экспериментальные исследования все чаще ведутся с помощью измерительно-вычислительных комплексов, которые позволяют получать, хранить и обрабатывать экспериментальные данные.
В каждом экспериментальном исследовании проводится статистическая обработка опытных данных. Количественная оценка влияния отдельных факторов (параметров) проявляется в построении эмпирических зависимостей, интерполирующих с той или иной точностью экспериментальные данные. В этом случае можно говорить об использовании аппроксимационных математических моделей, в которых содержательные математические модели как таковые просто отсуствуют. Выбор числа и условий проведения опытов для решения той или иной проблемы осуществляется на этапе планирования эксперимента. Здесь привлекаются результаты математической теории оптимального эксперимента, математической теории планирования эксперимента.
1.7 Математическая модель прибора
Настоящий уровень развития экспериментальных исследований характеризуется возрастающим применением все более совершенных приборов. Сами приборы с неизбежностью вносят возмущения в исследуемое явление или процесс. С целью избавления от этих погрешностей строится математическая модель прибора.
При проведении экспериментов необходимо иметь в виду две принципиально различные ситуации. Первая из них связана с ситуацией, когда для исследуемого явления или объекта нет теоретического описания, нет математической модели и ставится задача накопления экспериментального материала с тем, чтобы в последующем дать теоретическое описание. В этом случае математические методы используются для хранения и переработки информации, в частности, для получения эмпирических зависимостей.
При построении аппроксимационных математических моделей типичной является ситуация с определением параметров эмпирических формул, подборе самой формулы. По массе экспериментальных данных необходимо подобрать параметры аппроксимационных моделей так, чтобы с приемлемой точностью можно было описать экспериментальные данные. В этом случае мы сталкиваемся с необходимостью приближенного решения соответствующих задач минимизации.
Второй класс экспериментов проводится в условиях, когда есть теоретическое описание исследуемого объекта. Структура математической модели определена и ставится задача определения параметров модели. Сам натурный эксперимент направлен на то, чтобы определить те или иные свойства объекта, на конкретизацию математической модели объекта.
При обработке опытных данных таких экспериментов часто приходится иметь дело с обратными задачами. Такие задачи могут быть некорректными в классическом смысле и поэтому трудными для численного исследования. На стадии обработки и интерпретации данных экспериментальных исследований вычислительные средства находят все более широкое применение с использованием различных классов математических моделей.
1.8 Вычислительный эксперимент
Теоретические и экспериментальные исследования обладают большой степенью автономности. В условиях когда фундаментальные модели известны, апробированы может быть поставлена проблема более тесного координирования и связи теоретических и экспериментальных исследований. Речь идет о новой объединяющей технологии научных исследований, которой является математическое моделирование и вычислительный эксперимент.
Изложим вначале общую схему вычислительного эксперимента, а затем дадим краткую характеристику его основных этапов. Понимая вычислительный эксперимент в узком смысле, как создание и изучение математических моделей исследуемого объекта с помощью вычислительных средств, можно выделить в качестве основы триаду модель - алгоритм - программа. В широком (методологическом) смысле под вычислительным экспериментом мы понимаем новую технологию научных исследований. Основные этапы вычислительного эксперимента прослеживаются на рисунке.