1. 1 Биомеханика (стр. 10 из 13)
Для этого, чтобы однозначно определить состояние ансамбля конечных элементов для него следует наложить не менее NAT-связей.
При формулировке разрешающего конечно-элементного уравнения для ансамбля, мы предполагали вариации узловых перемещений не равными нулю, откуда следовало, что множители при них – нулевые и каждый такой множитель давал одно разрешающее уравнение. [1], [3]
Если на ансамбль наложены кинематические связи, т.е. заданы законы движения некоторых узлов в виде
`uk = fk(t) (3.4.1)
то вариации соответствующих узловых перемещений равны нулю, и множители при нулевых вариациях не обязательно равны нулю.
Следовательно, в разрешающей системе уравнений количество неизвестных больше количества уравнений на количество наложенных связей. Такая система уравнений имеет полный ранг, но количество неизвестных больше, чем количество уравнений. Рассмотрим простейший случай, когда кинематические условия однородны, т.е. fk(t) = 0. В этом случае достаточно исключить из системы уравнений ml, которые соответствуют вариациям заданных перемещений и заменить их на тождество qm = 0.
Рассмотрим алгоритм удовлетворения однородным кинематическим краевым условиям. Исходными данными для этого алгоритма являются матрица жесткости ансамбля МЖА, вектор нагрузок ансамбля и список закрепленных степеней свободы. Этот список удобно оформить в следующем виде:
Все остальные столбцы, число которых равно Nссц номеру степеней свободы узла, заполняются кодами закрепления:
1 – есть закрепления
0 – нет закрепления.
Этот алгоритм делает конечно-элементную систему расчетов более гибкой и экономичной в том смысле, что позволяет просчитывать несколько вариантов закрепления без формирования матричных характеристик ансамбля, которые предполагаются вычисленными заранее и сохраненными на магнитном носителе.
После выполнения этого алгоритма система уравнений имеет полный ранг и может быть решена. [3]
Для метода конечных элементов характерны плохо заполненные матрицы, т.е. в матрице жесткости примерно 80% элементов равны нулю. В связи с этим важным становится вопрос о способе хранения этой матрицы.
Нужно отметить, что способ хранения матрицы разрешающей системы уравнений накладывает определенные требования на алгоритм решения алгебраической задачи. Справедливо и обратное.
При решении задач метода конечных элементов наиболее универсальным является алгоритм Гаусса с частичным или полным выбором ведущего элемента. Это объясняется возможностью решения проблем для симметричной и несимметричной матрице и отсутствием ограничения на знак определителя.
Для решения задач статики при однородных краевых условиях оптимальным является алгоритм Халецкого, использующий верхнюю треугольную часть матрицы.
При очень высоких порядках систем > 104 полезным оказывается итерационное уточнение по алгоритму Гаусса-Зейделя. [24]
3.7 . Интерпретация результатов конечно-элементных расчетов.
После определения узловых перемещений можно судить о жесткости конструкции, то есть о величине наибольшего перемещения под действием заданной системы нагрузок.
Суждение о прочности можно высказать, если определить поле напряжений – всех компонент тензора напряжений и эквивалентного напряжения в объеме конструкции.
Расчетная формула определения напряжений имеет вид:
sn (` r) = [Сn][ Вn(` r)]`qn
sn – вектор напряжений, Сn – матрица упругих свойств, Вn – матрица градиентов функции формы, `qn – вектор узловых перемещений n-ого конечного элемента, `r Îvn – вектор места точки внутри конечного элемента n = 1, 2, … Nкэ – номер конечного элемента. [6], [11], [30]
Непосредственное применение этой формулы для определения напряжений чревато тем, что для одного и того же узла мы получаем разные значения напряжений при выборе разных конечных элементов, включающих этот узел. Причиной тому является отсутствие требований непрерывности напряжений при выборе функций формы.
Простейший путь сглаживания поля напряжений – осреднение результатов по узлам. Исходными данными для алгоритма сглаживания являются:
1) конечноэлементная сетка (матрица связей и координаты узлов);
2) вектор узловых перемещений ансамбля конечных элементов;
3) свойства материала каждого конечного элемента.
Этот алгоритм применяют при решении практически всех задач; исключение составляют задача о стержневой системе типа строительной фермы. [33]
Для этой задачи основное значение представляют усилия в стержнях. Их следует вычислять в цикле по конечным элементам, используя формулу
Nn = (EA)n[Bn]`qn, где Nn – усилие в стержне (конечном элементе) с номером n.
Результаты вычислений для быстрого анализа удобно представить в графической форме. Форма должна давать представление о деформированном состоянии конструкции и действующих силовых факторах.
Рекомендуется визуализацию поля напряжений сопоставлять с пределом текучести, таким образом, чтобы цветовая гамма была однотонной, а предел текучести соответствовал бы среднему оттенку этой гаммы. Тогда при анализе упругой конструкции легко увидеть области, в которых напряжение превосходит предел текучести. Полезно на этом рисунке указывать внешние нагрузки. [11], [33]
Одной из основных задач метода конечных элементов является объединение конечных элементов в систему, осуществление перехода от локальных к глобальным координатам.
Далее решается тестовая задача для криволинейных стержней с целью отработки этого алгоритма.
4 МКЭ – МОДЕЛЬ ДЕФОРМИРОВАНИЯ ВИТКА ПРУЖИНЫ
В данном разделе рассматривается пример применения общих принципов МКЭ – моделирования систем стержней к витку цилиндрической пружины растяжения – сжатия, который является типичным примером пространственно-криволинейного стержня. В то же время, в силу широкого распространения цилиндрических пружин в технике, решение задачи об осадке цилиндрической пружины получено рядом авторов и содержится в справочных изданиях. Поэтому оно является удобным тестом для МКЭ – модели пространственного стержня.
4.1 Математическая модель динамики криволинейного стержня
Рассмотрим известную математическую модель деформирования цилиндрической пружины. Ее ось описывается винтовой линией:
( 4.1)
где х, y, z – декартовы координаты точки оси, R – радиус витка, y = сonst – угол подъема витка.
При формулировке уравнений состояния стержня приняты следующие системы координат: (x, y, z) – неподвижная декартова система координат; (x, h, z) – подвижная система координат, представляющая собой трехгранник Френе [22], начало которого находится в центре тяжести сечения витка, а его положение относительно начала пружины определяется дуговой координатой s. Производная по длине дуги определяется выражением:
,( 4.2)
кривизна и крутка винтовой линии:
.( 4.3)
Базисные векторы подвижного трехгранника имеют вид:
( 4.4)
Принимаются следующие основные гиптезы:
1. Материал стержня линейно-упругий, подчиняющийся закону Гука.
2. Деформации растяжения/сжатия и сдвиги считаются малыми.
3. Поперечные сечения, плоские до деформации, не искривляются и не меняют своих поперечных размеров и остаются перпендиулярными к деформированной оси стержня (гипотеза плоских сечений).
4. Волокна, параллельные оси стержня, не надавливают друг на друга. .
5. Перемещения считаем малыми по сравнению с размерами пружины.
6. Угол подъема витка пружины считаем малым.
Гипотезы 3 и 4 (Кирхгоффа) обеспечивают отсутствие нормальных напряжений на площадках, параллельных оси стержня. Последняя гипотеза позволяет считать виток пружины тором (плоским замкнутым кольцом). При таких предположениях можно получить несвязанные между собой уравнения малых колебаний эквивалентного бруса [5], которые описывают продольные, крутильные, поперечные колебания и колебания в плоскости витка. Полная система уравнений, описывающая малые колебания, имеет вид:
- продольные колебания;( 4.5)
- крутильные колебания,( 4.6)
- поперечные колебания.( 4.7)
Колебаниями в плоскости витка, связанными с изменением его диаметра и поворотом относительно оси пружины пренебрежем. В последних формулах приняты обозначения:
- продольная жесткость,( 4.8)
- крутильная жесткость,( 4.9)
- поворотная жесткость,( 4.10)
- сдвиговая жесткость,( 4.11)
- площадь эквивалентного бруса,