1. 1 Биомеханика (стр. 12 из 13)
( 5.1)
где R – радиус оси, а начальная крутка равна нулю.
Выпишем соотношения п. 1.3 для основных деформаций волокна, отстоящего от оси стержня на вектор R, лежащий в плоскости поперечно сечения:
( 5.2)
где eR – деформация растяжения/сжатия, gR – сдвиг. Углы поворота сечения относительно векторов подвижного трехгранника:
( 5.3)
Угол поворота относительно касательной к оси qt считаем независимой функцией дуговой координаты s. Считая, что материал стержня линейно-упругий, запишем функционал Лагранжа с учетом инерционных сил поступательного перемещения сечения:
( 5.4)
Первое слагаемое представляет собой элементарную работу внутренних сил. Перепишем его, учитывая особенности геометрии стержня и производя интегрирование по площади. Так как стержень имеет круговую ось, то от интеграла по длине удобнее перейти к интегралу по углу, заменяя
. 
( 5.5)
Здесь (‘) обозначает дифференцирование по переменной j. Переходя к типичным для МКЭ матричным обозначениям, введем вектор обобщенного перемещения:
( 5.6)
и матричный оператор дифференцирования:
.( 5.7)
Считая, что определена матрица функций формы, выражающая компоненты перемещения через перемещения начального и конечного узлов, получим обычное для МКЭ выражение вектора перемещений через узловые перемещения:
( 5.8)
где
( 5.9)
- вектор узловых перемещений. Тогда можно определить матрицу жесткости КЭ:
( 5.10)
Аналогично вычислим матрицу масс КЭ, интегрируя по площади сечения и переходя от переменной s к j во втором слагаемом ( 5.4), которое представляет элементарную работу сил инерции:
( 5.11)
Элементарную работу распределенных нагрузок определим так:
( 5.12)
Тем самым получена стандартная формулировка МКЭ-соотношений:
( 5.13)
после чего можно конкретизировать вывод функций формы, рассматривая состояние кругового стержня.
5.2 Функции формы для кругового стержня.
Выпишем систему уравнений состояния плоского кругового стержня:
( 5.14)
и упростим ее, учитывая особенности геометрии стержня и считая отсутствующими внешние нагрузки. Кроме того, будем считать, что стержень совершает свободные колебания по закону:
.тогда после преобразований, получим:
( 5.15)
Последняя однородная система уравнений определяет формы колебаний. Перепишем ее в матричной форме, вводя вектор состояния:
( 5.16)
и зависящую от параметра матрицу системы ( 5.15):
( 5.17)
Для решения этого уравнения используем универсальную подстановку:
,где р играет роль параметра. Для его определения имеем характеристическое уравнение
( 5.18)
Прежде всего отметим, что структура матриц А и В такова, что на главной диагонали матрицы А – W2В располагаются только нулевые элементы и, следовательно, соблюдается соотношение между корнями ( 5.19)следующее из теоремы Виета [47]:
.( 5.19)
Здесь tr(A)=A11+ A22+…+ Ann – след матрицы А.
Нулевых корней быть не должно, так как им соответствует постоянная компонента, что противоречит уравнению ( 5.17). Так как среди корней встречаются вещественные, мнимые, и комплексные, то на основании ( 5.19) можно утверждать, что вещественные и мнимые корни могут встречаться только парами, симметричными относительно мнимой и вещественной осей, т.е. для всякого вещественного корня х>0 существует парный корень –х; для всякого мнимого iy (y>0) – корень –iy. Каждой паре комплексно сопряженных корней
должна соответствовать пара 
. В этом случае условие ( 5.19) выполняется автоматически. Вследствие этого можно представить характеристический полином в виде произведения: 
,( 5.20)
где Р4 – полином 4-й степени по р, не имеющий нулевых корней. Таким образом, можно утверждать, что существует минимальный полином матрицы А0 – w2В:
.( 5.21)
Но в [47] показано, что корни минимального и характеристического полиномов совпадают в совокупности, и характеристический полином отличается от минимального только кратностью корней. Следовательно, других корней, кроме отмеченных выше, быть не может.
Это обстоятельство существенно облегчает поиск корней характеристического уравнения: достаточно исследовать первый квадрант комплексной плоскости, включая вещественную и мнимую полуоси. Но нельзя забывать, что среди отмеченных восьми корней четыре могут быть кратными; обнаружить их можно, деля характеристический полином на соответствующий каждому корню двучлен или трехчлен. Если остаток от деления равен нулю при значении параметра р, равного корню, то этот корень – кратный. Отсюда можно определить функциональный базис для построения общего решения однородного уравнения ( 5.17): он будет состоять из собственных векторов матрицы А - w2В, домноженных на собственные функции вида
и 
, причем последние будут соответствовать только четырем кратным корням.Особенностью полученного решения является то, что и собственные векторы, и собственные числа (корни характеристического уравнения) будут зависеть от частоты свободных колебаний w, которая заранее не известна. Обозначим
матрицу решения, которая имеет следующий вид: 
( 5.22)
причем последние четыре столбца – собственные векторы, соответствующие кратным корням и потребуем выполнения тождества:
и найдем произвольные постоянные С через условия в начале стержня:
;Тогда общее решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям, примет вид:
( 5.23)
Записывая ( 5.23) для конца стержня, получим:
( 5.24)
Но в число параметров вектора состояния входят шесть кинематических и шесть силовых параметров; выразим силовые параметры вектора Y(0) через кинематические параметры вектора Yk. Для этого в последнем уравнении разобьем матрицу D и векторы на клетки:
,где F – множество силовых параметров состояния, q – множество кинематических параметров. Из последнего уравнения имеем:
