1. 1 Биомеханика (стр. 6 из 13)
Важное требование этой теоремы состоит в том, что искомые перемещения должны удовлетворять заданным значениям на границе.
Полная потенциальная энергия упругой системы может быть разделена на две части, одна из которых соответствует энергия деформаций в теле, а другая определяется потенциальной энергией массовых сил и приложенных поверхностных сил. В соответствии с этим запишем полную потенциальную энергию в виде
, (3.7)где
—энергия деформаций, a —потенциальная энергия приложенных сил. Работа внешних сил противоположна по знаку их потенциальной энергии: 
. (3.8)Из формул (3.7) и (3.8) получаем
. (3.9)После разбиения области на элементы равенство (3.9) записывается е виде суммы
. (3.10)Общий случай.
Энергия деформации бесконечно малого объема dV дается формулой
, (3.11)где
—полная деформация, а 
—начальная деформация. Величина 
называется плотностью энергии деформации, а полная энергия деформации получается интегрированием этой величины по объему тела: 
. (3.12)Вид векторных столбцов 
и
зависит от того, какая задача решается. Например, для двумерного случая плоской деформации эти вектор - столбцы имеют вид 
и
.В основе курса теории упругости лежат два важных соотношения: закон Гука, который связывает компоненты тензоров напряжений и деформаций, и соотношения связи между деформациями и перемещениями. Закон Гука в общей форме имеет вид
, (3.13)где [D] содержит упругие константы материала. Соотношения связи между деформациями и перемещениями записываются как
, 
, 
, 
, (3.14)где и, 
и w — компоненты перемещений в направления координатных осей х, у и z соответственно[2]. Эти компоненты перемещений были выражены в гл. 3 через узловые значения следующим образом:
. (3.15)Здесь [N] —матрица функций формы. С помощью формул (3.14) можно выразить вектор деформации
через узловые перемещения {U}. Общая форма этих соотношений такова 
. (3.16)Здесь [В] —матрица, получаемая дифференцировал нем надлежащим образом матрицы [N]. Фактические значения коэффициентов матрицы [В] зависят от вида используемого элемента и от типа рассматриваемой задачи. Поэтому точное определение [В] будет отложено до рассмотрения конкретных примеров. [30]
Энергия деформации
отдельного элемента с помощью формул (3.13) и (3.16) может быть записала в следующем виде: 
. (3.17)Последнее слагаемое в (5.68) не зависит от узловых значений
, поэтому оно не влияет на процесс минимизации и в дальнейших ссылках не будет приниматься во внимание. [30]Работа, совершаемая внешними силами, может быть разделена на три различные части: работа
, совершаемая сосредоточенными силами, работа 
, которая получается в результате действия компонент напряжений на внешней стороне поверхности, работа 
, совершаемая массовыми силами.Работу сосредоточенных сил легко определить, если в каждой точке приложения сосредоточенной силы поместить узел. Работа сосредоточенной силы равна произведению величины этой силы на длину пути, нa котором эта сила действует. Таким образом, работа отдельной силы равна 
. Обозначая узловые силы через {Р}, а узловые перемещения через {U}, совершенную работу можно записать в виде произведения матриц:
. (3.18)Это определение предполагает, что силы разложены на компоненты, параллельные компонентам перемещений. Эта часть полной работы не входит в сумму (3.2), так как рассмотренные силы сосредоточены в узлах. [30], [34]
Работа объемных сил χ, ỳ, £ дается формулой
где и, и w — компоненты вектора перемещений внутри элемента по осям х, у и z соответственно. Интеграл здесь необходим, так как и, и 
вместе с χ, ỳ и £ могут изменяться внутри элемента. Используя равенство (3.14), формулу (3.18) можно переписать в виде
. (3.19)Работа поверхностных сил определяется следующим образом:
, (3.20)где и, 
и w — компоненты вектора перемещений, а рх, py и pz — компоненты вектора напряжений, параллельные координатным осям х, у и z.
Сравнение формул (3.20) и (3.18) показывает, что они идентичны по форме. Поэтому
. (3.21)Используя формулы (3.2), (3.10), (3.17), (3.19) и (3.21), получаем выражение для полной потенциальной энергии:
, (3.22)Чтобы минимизировать величину П, продифференцируем выражение (3.22) по {U} в приравняем результат нулю. Эту операцию можно выполнить, используя дифференциальные соотношения Б1 и Б2. В результате будем иметь
. (3.23)Интегралы в формуле (3.23) определяют для каждого элемента вектор нагрузки {f(e)} и матрицу жесткости
, которые можно объединить следующим образом: 
. (3.24)В рассматриваемом случае
— объемный интеграл вида 
, (3.25)а
—сумма нескольких интегралов: 
(3.26)Матрица жесткости элемента (3.25) не содержит поверхностный интеграл, который встречается в задачах теории поля. [30]
Глобальная матрица жесткости [К] и глобальный вектор-столбец {F} в матричном уравнении
(3.27)даются соотношениями
, (3.28) 
. (3.29)3.3 . Моделирование стержневых систем методом конечных элементов.