1. 1 Биомеханика (стр. 2 из 13)
Устойчивость тела человека определяется его возможностями активно уравновешивать возмущающие силы, останавливать начинающееся отклонение и восстанавливать положение. Гимнаст, стремясь сохранить положение (даже утратив равновесие), с помощью активных действий может еще восстановить положение в известных пределах отклонения. Зона восстановления положения – это область, в которой невозможно равновесие, но из которой гимнаст еще способен вернуться в заданное положение.
Поза тела характеризует взаимное расположение звеньев тела относительно друг друга. Нельзя смешивать понятия «положение тела» и «поза тела», поскольку положение тела характеризуется помимо позы еще ориентацией и местом тела. [12]
В анатомии для описания поз и движений в суставах используют термины: сгибание – разгибание, отведение – приведение, пронация – супинация и другие производные от названных. Эта терминология описательная. Она не основана на изучении особенностей движения в отдельных суставах (например, движения сочленяющихся суставных поверхностей при сгибании в тазобедренном и коленном суставах совершенно различны). При биомеханическом описании движений в суставах в трехмерном пространстве обычно используют углы Эйлера. А чтобы в этом случае можно было использовать аппарат теоретической механики, делают, как правило, следующие предположения:
1. Звенья модели (тела человека) абсолютно твердые. Поскольку это предположение во многих случаях для туловища нельзя считать оправданным, его моделируют системой из двух или трех звеньев.
2. Геометрические параметры звеньев модели (их длина и т. п.) совпадают с соответствующими параметрами сегментов тела человека.
3. Звенья модели соединены в идеальные кинематические пары III класса (шаровыми шарнирами).
Модели такого типа получили название базовых.
Моделирование суставов идеальными шарнирами, предполагающее, что любое движение в суставе – это сферическое движение относительно неподвижного центра, упрощает реальную ситуацию. В действительности положение мгновенных осей вращения может меняться. Важность этого обстоятельства, и, следовательно, возможность пренебрегать им зависит от изучаемых вопросов. В частности, смещение осей вращения не изменяет существенно геометрию масс, но оказывает сильное слияние на плечи сил отдельных мышц. Смещение мгновенных осей вращения объясняется тем, что в суставах возможны три основных типа движений сочленяющихся поверхностей: скольжение, что соответствует повороту звена относительно оси, сдвиг и качение.
Вопрос о числе степеней свободы подробно изучался польскими исследователями, которые, рассматривая проблему с точки зрения теории машин и механизмов, определяют тело человека – как сложный биомеханизм, кости – как жесткие звенья, а суставы – как кинематические пары определенных классов. [9], [12]
Резюме: задача расчета криволинейных стержней интересна тем, что как система пространственных криволинейных стержней может рассматриваться опорно-двигательный аппарат человека, где один стержень – это один конечный элемент. К примеру, 16 ребер человека будут составлять 16 конечных элементов.
1.2 . Cтержни.
Пусть в пространстве задана некоторая гладкая кривая уравнением r = `r(s), где где r – радиус-вектор точки в декартовой системе координат,
– параметр, имеющий смысл длины дуги. Располагая вектор-функцией r(s) можно считать известными геометрические характеристики кривой в окрестности произвольно выбранной точки этой кривой. Представим себе плоскую фигуру, в общем случае деформируемую, которая движется по этой кривой, будем полагать площадь фигуры функцией дуговой координаты: A = A(s).  |
Будем считать, что задана плоская фигура и для нее определен центр тяжести и главные центральные оси инерции. Выберем на кривой начало отсчета – точку О, совместим ее с центром тяжести фигуры и повернем фигуру так, чтобы одна из главных центральных осей инерции была направлена вдоль нормали, а вторая – вдоль бинормали. [2], [28], [29]
Тогда касательная к кривой перпендикулярна плоской фигуре. В дальнейшем таким образом расположенную плоскую фигуру будем называть поперечным сечением.
Перемещая плоскую фигуру вдоль кривой так, чтобы описанное положение главных осей инерции не изменялось, получим объем, ограниченный начальным и конечным положением фигуры (торцами) и поверхностью, которую заметает контур С.
Если заполнить этот объем деформируемой средой, то полученное тело называют стержнем.
По умолчанию предполагается, что расстояние между торцами, отсчитанное вдоль образующей, превосходит наибольший характерный размер поперечного сечения. Будем считать, что внутри стержня изменение физико-механических характеристик (плотности, модулей упругости и т.д.) определяется гладкими и непрерывными функциями координат. То же самое можно сказать и о фигуре поперечного сечения. [5]
Если имеются нерегулярности физико-механических или геометрических свойств, то такой объект будем называть стержневой системой.
Классификация стержней осуществляется по следующим признакам:
1) вид оси стержня: прямые стержни, плоские криволинейные, пространственные, естественно-закрученные.
2) по изменению геометрических и физических характеристик вдоль оси: однородные (когда все постоянно), неоднородные (когда хоть что-нибудь меняется).
3) по форме поперечного сечения: круглого, квадратного сечения стержни и т.д.
4) по соотношению размеров: если длина стержня имеет порядок более десяти размеров поперечного сечения и если аналогичное соотношение существует между наименьшим радиусом кривизны и характерным поперечным размером, то стержень называют толстым, а все, что между ними – стержень средней толщины.
1.3 Кинематика деформирования стержней.
Деформирование стержней связано с движением поперечного сечению совместно с осью. Для сведения задачи о деформировании стержней к одномерной, принимается геометрическая гипотеза, позволяющая определить распределение продольных перемещений по поперечному сечению. Деформирование стержней рассматривается на основании кинематической гипотезы Бернулли: поперечные сечения стержня, плоские и перпендикулярные его оси до деформирования, остаются плоскими и перпендикулярными оси после деформирования
`r = rn × `n + rb ×`b
`r¢ = rn × `n¢ + rb ×`b¢
Кинематическая гипотеза Бернулли исключает из рассмотрения эффект Пуассона, то есть уменьшение поперечного сечения при одноосном растяжении прямого стержня. Это является одним из источников погрешности теории стержней, основанной на гипотезе Бернулли. [22]
В соответствии с принятой гипотезой деформирование стержня можно рассматривать как следствие относительного движения двух близко расположенных поперечных сечений.
Допустим, что одно из этих сечений неподвижно. Если второе поперечное сечение перемещается относительно первого таким образом, что нормаль к поперечному сечению всегда совпадает с вектором t недеформированной оси, то говорят, что стержень находится в состоянии растяжения/сжатия.
При таком виде напряженно-деформированного состояния отсутствуют деформации сдвига, а деформация растяжения/сжатия любого волокна, эквидистантного оси стержня, не зависит от длины радиус-вектора `r.
Если второе поперечное сечение поворачивается в пространстве относительно вектора `t, причем последний не меняет своего направления, то такое напряженно-деформируемое состояние называется кручением. [11], [25]
При рассмотрении кручения пренебрегают удлинением волокна, связанным с его поворотом (эффект Пойнтинга). Такое допустимо только при малых углах относительного поворота.
Если при деформировании поперечное сечение поворачивается относительно единичных векторов `b и `n, то говорят, что стержень находится в состоянии изгиба.
Если второе поперечное сечение перемещается по направлению нормали или бинормали и при этом не поворачивается, то такое напряженно-деформируемое состояние называют сдвигом.
В дальнейшем при рассмотрении различных напряженно-деформированных состояний будем считать перемещения оси стержня малыми, имеющими порядок половины наименьшего размера поперечного сечения;
угловые перемещения также будем считать малыми в смысле sinq » q, cosq » 1.
История метода и область применения.
Метод конечных элементов является численным методом решения дифференциальных уравнений, встречающиеся в физике и технике. Возникновение этого метода связано с решением задач космических исследований (1950 г.). Впервые он был опубликован в работе Тернера, Клужа, Мартина и Топпа. Эта работа способствовала появлению других работ; был опубликован ряд статей с применениями метода конечных элементов к задачам строительной механики и механики сплошных сред. Важный вклад в теоретическую разработку метода сделал в 1963 г. Мелош, который показал, что метод .конечных элементов можно рассматривать как один из вариантов хорошо известного метода Рэлея—Ритца. В строительной механике метод конечных элементов минимизацией потенциальной энергии позволяет свести задачу к системе линейных уравнений равновесия. [20]