Цепные дроби (стр. 11 из 17)

Предположение, что выполнены все три неравенства (2), привело нас к противоречию, поэтому по крайней мере для одной из трех подходящих дробей

, , , взятой в качестве , должно выполняться неравенство ( ).

Придаваяk различные значения, получим бесконечное множество дробей, удовлетворяющих неравенству (

).

Докажем вторую часть.

Предположим, что при

, неравенство (1) удовлетворяется для бесконечного множества рациональных чисел . Тогда для каждой такой дроби неравенства , откуда, подставляя значение , получаем , а возводя в квадрат, получаем: . Так как , то при достаточно большом Q будем иметь: и, следовательно, целое число , = , что при целыхP иQ не может иметь места. Полученное противоречие показывает, что неравенство (1) может иметь место только для конечного числа рациональных чисел . Теорема доказана полностью.

Эта теорема была опубликована Гурвицем в 1891 году. Тот факт, что из трех соседних подходящих дробей по крайней мере одна даст приближение вида

, был доказан Борелем в 1903 году.

Последним теоремам можно дать и другое очень важное истолкование.

Рассмотрим для этого уравнение

, где – любое действительное иррациональное число. Исключая тривиальное решение x=y=0, это уравнение не может иметь решение в целых числах. Однако можно поставить задачу о приближенном его решении в целых числах, то есть о нахождении таких пар чисел x(x>0) и y, чтобы:

или .

Теорема Гурвица-Бореля показывает, что для

всегда существует бесконечное множество таких пар; если же , то существуют такие действительные числа, для которых таких пар имеется лишь конечное множество.

Новая точка зрения получает в содружестве с методом Дирихле весьма значительное применение в теории диофантовых приближений.

§ 3. Квадратические иррациональности и периодические цепные дроби.

Рациональные числа представляют собой корни уравнений первой степени вида

с целыми коэффициентами.

Во множестве иррациональных чисел наиболее простыми являются те иррациональности, которые являются корнями квадратных уравнений с целыми коэффициентами; такие числа будем называть квадратическими иррациональностями.

Число

называется квадратической иррациональностью, если – иррациональный корень некоторого уравнения (1) с целыми коэффициентами, не равными одновременно нулю.

При таком

, очевидно, будет a 0, c 0. Коэффициентыa, b, c уравнения (1), очевидно, можно взять взаимно простыми; в этом случае дискриминант этого уравнения будем называть также дискриминантом . Корни уравнения (1) равны и , так что любую квадратическую иррациональность можно представить в виде , гдеP, Q – целые, аD (D>1) – целое неквадратное число.

Второй корень уравнения (1)

будем называть иррациональностью, сопряженной с .

В определении квадратической иррациональности особенно важно обратить внимание на то, что речь идет о квадратных уравнениях с целыми коэффициентами. Любое

является корнем квадратного уравнения и даже уравнения первой степени, например уравнений , x- =0.

Примеры:

1)

– квадратическая иррациональность, так как является иррациональным корнем уравнения .

2)

– квадратическая иррациональность, так как представляет собой иррациональный корень уравнения . Здесь P=–1, Q=–3, D=5.

3)

не является квадратической иррациональностью.

Действительно, корень любого квадратного уравнения с целыми коэффициентами имеет вид

, где P, Q, D

, причем D>1. Если бы мы имели = , то, возводя это равенство в куб, мы получили бы, что – рациональное число, а следовательно, рациональным являлся бы и , а это не так.

Теорема: Всякая периодическая непрерывная дробь изображает квадратическую иррациональность.

Доказательство: Пусть

–смешанная периодическая цепная дробь, то есть , где – чисто периодическая цепная дробь.

Обозначим подходящие дроби к

и соответственно через и .

Так как

, то, согласно формуле (5) из 1.1 этой главы, . Выполнив необходимые преобразования, получаем: .

Из этой формулы видно, что

удовлетворяет квадратному уравнению с целыми коэффициентами. Кроме того, - число иррациональное, так как оно представляет бесконечную непрерывную дробь. Таким образом, - квадратическая иррациональность. Но по той же формуле , поэтому и является, очевидно, квадратической иррациональностью, что и требовалось доказать.