Цепные дроби (стр. 6 из 17)

Следовательно, подходящие дроби любой бесконечной непрерывной дроби имеют некоторый предел

. Этот предел принимается в качестве значения бесконечной непрерывной дроби. Говорят, что бесконечная непрерывная дробь сходится к или представляет число . Можно записать = , подразумевая при этом, что = .

1.3 Единственность представления действительного иррационального числа правильной бесконечной цепной дробью.

Исходя из результатов, которые мы получили выше, можно утверждать, что для каждого действительного иррационального

существует представление в виде бесконечной непрерывной дроби. Таким представлением является разложение в бесконечную непрерывную дробь, так как предел подходящих дробей последней равен как раз .

Возникает вопрос, сколько представлений действительного иррационального

в виде бесконечных непрерывных дробей существует вообще? Покажем, что только одно.

Другими словами: представление действительного иррационального

в виде бесконечной непрерывной дроби всегда является разложением с помощью выделения целой части. Докажем это важное утверждение.

Пусть действительное иррациональное

представлено бесконечной непрерывной дробью , то есть = . Назовем бесконечную непрерывную дробь остатком данной дроби порядка k. Так как любая бесконечная непрерывная дробь представляет некоторое действительное число, то это утверждение относится также и к остатку . Обозначим его через , = , то есть = . Аналогично = , то есть = .

Из соотношения

получаем , то есть = (1).

Так как при

, то все >1, а <1; следовательно, , то есть (2). Но так как , то и, ввиду равенства (1) равно остаточному числу второго порядка для , то есть . Тогда далее , а и так далее. Вообще из следует , а .

Элементы данной бесконечной непрерывной дроби получаются из его значения

последовательным выделением целой части, что и требовалось доказать.

Вместе с тем мы установили, что остаток бесконечной непрерывной дроби

= порядкаk+1 совпадает с ее остаточным числом порядка k+1 .

Исследования этого параграфа приводят нас к следующему основному результату: каждое иррациональное действительное число

единственным образом представляется бесконечной цепной дробью вида и, наоборот, каждой бесконечной цепной дроби соответствует единственное иррациональное действительное число, которое она представляет. Поэтому множество всех действительных чисел взаимно однозначно отображается на множестве всех непрерывных дробей (если условиться, что для конечных непрерывных дробей берется последнее ). При этом рациональным числам соответствуют конечные непрерывные дроби, а иррациональным – бесконечные дроби.

§2. Приближение действительного числа рациональными дробями с заданным ограничением для знаменателя.

Рациональные числа образуют счетное множество, в то время как множество иррациональных чисел несчетно. В этом смысле можно сказать, что основную массу всех действительных чисел составляют иррациональные числа. Применение иррациональных чисел в практике обычно осуществляется заменой данного иррационального числа некоторым рациональным числом, мало отличающимся в пределах требуемой точности от этого иррационального числа. При этом обычно стараются выбрать рациональное число возможно простым, то есть в виде десятичной дроби с небольшим числом знаков после запятой или в виде обыкновенной дроби со сравнительно небольшим знаменателем.

Для громоздких рациональных чисел, то есть чисел с большими знаменателями, также иногда возникают задачи, связанные с необходимостью отыскания хороших рациональных приближений, понимая под этим отыскание рациональных чисел со сравнительно небольшими знаменателями, мало отличающимися от данных чисел.

Цепные дроби дают очень удобный аппарат для решения задач такого рода. С помощью цепных дробей удается заменять действительные числа рациональными дробями так, что ошибка от такой замены мала по сравнению со знаменателями этих рациональных чисел.

2.1. Оценка погрешности при замене действительного числа его подходящей дробью.

Теорема 1: Для любых двух соседних подходящих дробей

и к действительному числу имеет место неравенство , и если , то .

Доказательство: Если

, подходящие дроби и , из которых одна четная, а другая – нечетная, лежат по разные стороны от (так как точное значение непрерывной дроби находится между двумя соседними подходящими дробями), и поэтому расстояние от до любой из них меньше длины интервала, образованного этими двумя подходящими дробями, то есть