Цепные дроби (стр. 7 из 17)

.

Если

= , то .

Теорема 2: Для любой подходящей дроби

к действительному числу справедливо неравенство:

Доказательство: Если

= , то получаем, что левая часть неравенства равна нулю, в то время как правая часть всегда больше нуля. Поэтому при = неравенство выполняется. Пусть , то есть существует подходящая дробь .

Приk>0

и согласно предыдущей теореме имеем:

.

Отдельно рассмотрим случай k=0. Если

, то

.

Теорема 3: Если

, то .

Из теорем 1-3 получаем следующие оценки погрешности:

, ,

из которых первая является наиболее точной, а последняя – наиболее грубой.

2.2. Приближение действительного числа подходящими дробями.

Решение поставленной задачи начнем с рассмотрения нескольких примеров.

Пример 1: Рассмотрим задачу, аналогичную той, с которой встретился голландский математик Христиан Гюйгенс (1629-1695) при построении модели солнечной системы с помощью набора зубчатых колес и которая привела его к открытию ряда важных свойств непрерывных дробей.

Пусть требуется, чтобы отношение угловых скоростей двух зацепляющихся зубчатых колес II и I было равно

.

Так как угловые скорости колес обратно пропорциональны числам зубцов, то отношение чисел зубцов колес I и II должно быть равно

. Если – несократимая дробь с большим числителем и знаменателем, например, , то для точного решения задачи возникает техническая трудность изготовления колес с большим количеством зубцов.

Задачу можно технически упростить при помощи колес с меньшим количеством зубцов. При этом важно, чтобы отношение этих чисел было, по возможности, ближе к заданному отношению. Хорошего удовлетворения поставленных требований можно добиться, если воспользоваться непрерывными дробями.

Пусть, например, поставлено требование заменитьN иn меньшими числами

и так, чтобы и чтобы отношение было, по возможности, ближе к .

Применяя аппарат цепных дробей, можем дать следующее решение этой задачи: разлагаем

в непрерывную дробь и берем ее подходящую дробь с наибольшим знаменателем, не превышающим 100.

Получаем,

=(1, 2, 3, 7, 8, 2)

Составляя схему, находим:

1	2	3	7	8	2
	1	3	10	73	594	1261
	1	2	7	51	415	881

Поставленному условию удовлетворяет подходящая дробь

. При этом допущенная погрешность , то есть весьма незначительна.

Ответ:

.

Для иррационального

по существу возможно лишь приближенное решение задачи.

Пример 2: Как мы уже определили ранее

. Вычислим с точностью до 0,001.

Для решения придется найти такую подходящую дробь

разложения , чтобы .

Сделаем это, используя схему:

3	3	6	3
	3	10	63	199
	1	3	19	60

Очевидно, нам достаточно взять

, так как 19·60>1000. Это значение будет равно с точностью до 0,001, причем с недостатком, так как – подходящая дробь нечетного порядка. Мы можем представить в виде десятичной дроби, причем имеем право взять 3 знака после запятой, так как является приближенным значением для с точностью до 0,001. Получаем (мы округляем по избытку, так как является приближенным значением с недостатком, однако, не можем теперь сказать, будет ли 3,316 приближенным значением с недостатком или избытком).

Решенные задачи в более общем виде формулируются так:

1) Найти рациональное приближение к действительному

со знаменателем в виде наиболее близкой к подходящей дроби. Для этого надо взять подходящую дробь для с наибольшим знаменателем, не превышающим n.

2) Найти рациональное приближение к действительному числу

с возможно меньшим знаменателем так, чтобы погрешность не превосходила (то есть с точностью до ). Для этого, пользуясь аппаратом цепных дробей, находим подходящую дробь с наименьшим знаменателем так, чтобы .